的关系如何？1.22 对于矢量场 A=f(z)a,+g(y)a,+h(z)a.:①求A沿着图1-13所示的回路C(1234561)的环量；②求VXA;③如果f(z）、g(y)、h（z）都存在原函数，4是否一定为保守场？若是，写出矢量场A的标量位函数@。1.23三个二维矢量场示于题1.23图中，矢线的疏密表示矢量场的强度。问：(6)(a)(c)惠1.23图①其中哪一个场是无旋的？②哪些是无散的？③图(c)中的矢量场为B=a。，为常数，问除圆心（轴线)之外的区域是否无旋的？1.24今有三种矢量场：A= a,sin Ocos p+ aoos Ocos 9- a sin pB=a,t'sin p+a,'cos p+a,2psin pC=a,(3y2 -2a)+a,z*+a,2z①其中哪些矢量场可表示为一个标量场的梯度场，哪些矢量场可表示为一个矢量场的旋度场？②求出这些矢量场的源的分布。1.25在直角坐标下证明：①V(uA)=uV·A+A·Vu②V×(uA)=uVXA+ VuXA@(A·V)u-AVu1.26证明:V·(A×H)H(V×A)-A·(V×H)1.27位置失量r=a,x+ay+a,z,r=lrl,求：①使v[f(r)a,]=0的f(r);①使[f()=0的();③使(")=0的整数1.28利用散度定理和斯托克斯定理对·(V×A)=0和V×Vu=0作不依赖于坐标系的证明。（提示：做一个闭合面。）· 28 ·
第2章静电场静态的电场是由分布恒定的电荷所产生的(而时变的电场则不仅以电荷为源)。其中最简单的是由静止的、电量恒定的电荷——静电荷产生的场，称为静电场。静止的电荷周围只存在静态的电场。当然，这是因为我们采用的参照系相对于电荷是静止的，因而能单独观察到统的电磁场的电场这个侧而。此外,电荷的静止也只是在我们所关心的一段时间之内。静电现象在自然界极为常见，且静电学的知识能够直接应用,例如用于石油、船舶、电子、航空、航天、纺织、塑料、造纸、印刷工业以及静电涂敷、静电除尘、静电分选、静电复印等等。静电场的理论也可用于解决电准静态场的问题以及恒定电场的问题，而且是学习时变电磁场的基础。本章将应用场论的知识于静电场,介绍其基本的物理量、基本定律和方程、介质特性、问题类型以及初步的求解方法。库仑定律2.1电场强度电场最基本的特征是对电荷有作用力，无论电荷是运动的还是静止的；而电场强度则是描述电场的最基本的物理量。一个电场的电场强度定义为单位电量的点电荷所受到的该电场的作用力（即不包括受力电荷本身产生的电场）：E-E(2.1.1)其中F 的单位为 N(牛),g的单位为 C(库),E的单位为V/m(伏/米)。实际应用中也用kV/cm(干伏/厘米）等单位。(2.1.1)式的电场强度定义是普适的。式中的E泛指各种电场力，即不仅限于指静电力或库仑力，也指其他原因产生的电场力。而受力电荷。可以是静止的，也可以是运动的。（相对论的研究还表明，电场对电荷α的作用力与电荷α的运动速度无关。）失量场 E 是一个分布函数。在实际问题中,描述点的位的坐标系和点的函数 E 的坐标系有可能是不同的。例如,在单模圆光纤中的电场强度可表示为 E(p,，2),见图 2-1。对于静电场而言，库仑于1785年从实验总结出真空中两个相距R的静止电荷q1和g2之间的作用力Fi2服从下述关系式：ra= n k(2.1.2)ATE(2.1.2)式就是著名的库仑定律。其中eo=1/(4元×9×10°)~8.854×10-12F/m(法/米),称为真空电容率或真空介电常数。本书图2-1单模圆光纤中一律采用国际单位制（MKSA制）。下标1表示场源电荷，2代表中的电场分布受力电荷。显然,(2.1.2)式的形式与以哪一个点电荷为源没有关系。 9, 与 Q2 之间的作用力也是相互的,Fi2同 F21是一对作用力和反作用力。综合(2.1.1)和(2.1.2)式，就得到静止的点电荷的电场强度为?29:
E"Rar R )(2.1.3)F3 = -4元. v(R)其中的r，r,R，z的含义参看图1-21。注意，(2.1.2)、(2.1.3)式中的R与a永远是由源点指向场点的，如图1-21所示。这样，电力线必然总是由正电荷发出而终止于负电荷。(2.1.3)式中的最后一个等号是依据梯度的计算公式而得：(长)=an最(长)=-r R静电学的基本问题就是要确定带电系统周围的电场分布。由(2.1.3)式可看出，对于点电荷的电场：(1)E景电场强度服从与距离的平方反比律,并呈球对称辐射状分布。这种函数形式决定了静电场的基本方程(见下节）。(2)EαQ，电场强度与场源电荷的电量成线性关系；同时，实验又表明，多个点电荷产生的合成电场等于每个点电荷单独存在时产生的电场的矢量和，从而电场强度服从选加原理。选加原理在电磁场以及各种力场中是一种普遍规律。同一个空间，同一点，可以同时被许多源产生的电场共同“占据”。这是场这种待殊的物质形态与实物的一个不同之处。而且，同一点处的多个场强按矢量选加在一起，彼此独立，互不干扰。这一特性对于电磁波的发射、接收等诸方面都具有重要意义。对于根据电荷的分布来计算电场的这类问题（也称为场源问题或分布型问题），场强服从选加原理就意味着从原则上解决了任意分布电荷的电场强度的计算问题，因为它们都可以看成是点电荷的电场选加而成的。电荷的分布从理论上可分为以下几种情况：(1)N个离散分布的点电荷此时场点的总场强为按(2.1.3)式计算的每个点电荷在该点产生的场强的矢量和：(2.1.4)E 24R（2)电荷连续分布在一块体积t、一个表面S或一条线L上(图2-2,图2-3)。设电荷密度的分布分别为p（r）（C/m），ps(r)(C/m），p:（r)(C/m)。若把每个带电的小块体积元p，小片面元psS小段线元p,视为个点电荷Ag(da),则由它产生的电场为dE-4seR-4n。把这样的每个点电荷的电场对整个体积、整个表面、整条线积分起来，就得到所求的总电场：图2-2体电荷(如带电的云团）产生的电场体电荷分布prleJ p(r)()dt(2.1.5)E(r)=J.4reoRe ardr=TE:面电荷分布·30
E(r) = [. ps(r)-4ne J,ps(r") ()ds(2.1.6)Js4reReards =-2线电荷分布p,(r)(2.1.7)[o(r)v()dE(r)- J. ecRand --4元e.在对源点"的坐标积分的过程中,场点，的坐标是常数,场点是定点，源点是动点。积分完成后，E就成为场点r的坐标的函数。一个半径为α的孤立导体球，总电量为Q。求球内、外的电场强度。例 2.1 解静电平衡时导体电荷总是分布在表面，孤立导体球的电荷则均勾分布于表面，故面密度为常数 ps=Q/4元a2,采用球坐标,令极轴通过球外任一场点 P,如图2-3所示。依(2.1.6)式，有ds a an dodE=1.A4元Eo简便的办法是先对。积分,这样求得的是如图的环状带上的面电荷在P点的合成电场，它是沿极轴方向的，故只取dE的分量dEcos α进行积分即可：Q I" cos a sin d de(2.1.8)E= g元eeJ.D22+2其中cas2rR图2-3孤立导体球的电场RCOS8sin de= -d(cos 8)=RdR所以代人(2.1.8)式，得到*r-"R?+16元e0ar (R - dR=rza,E"R16元e0ar]Q4mEg!r<a,把上面的积分中的下限变为ar即可：(R-F-0F16元0a可见导体球内部没有电场。这个特点是静电场与距离的平方成反比关系的直接结果，它也被用来从实验上验证平方反比律。早在库仑之前，开文迪什就用如下的静电实验作过验证：他将两个导体半球壳充电以后和一个内球相接触，然后再拿掉两个半球壳，检验内球,却未见带电，说明导体球内部没有电场。他因此得出了静电力服从平方反比律的结论。设库仑定律分母中R 的指数为 2+α,开文迪什在1771 年得到的数据是lαl≤0.02。现代量于电动力学的研究又发现 R 的指数同光子的静止质量有关。如果这个质量为零,则α严格为零。目前实验给出光于的静止质量上限为10-48kg,这相当于la/≤10-16。从上述计算过程也可看出，不仅是导体球，凡是一层球面对称分布的电荷，在这层电荷包围的球体积内产生的电场都为零，在球外产生的电场等效于位于球心的点电荷产生的电场。31:
2.2静电场的基本方程一、静电场的通量和散度真空中的高斯定律先建立一个预备概念立体角（也称球面角）。(1)球面元的立体角在一个半径为R的球面上取任意形状的一个面元dS,，就可构成以球心为顶点的一个锥体。这个锥体的空间角度就是立体角。它用来度量，记为dQ,单位为球面度(sr)。整个球面的立体角显然是4元。(2)非球面元ds对某一点P所张的立体角设 R为 ds 对P点(或 P点对ds)的相对位置失量,a为R 的单位失量,则do=ds:ar (sr)(2.2.1)R价(a)(b)(c)图2-4立体(a)球面元对球心的立体角：(b)闭合面对内部的点P张的立体角；(c)闭合面对外部的点P张的立体角。如果以 P 为球心,r(r<R)为半径作一个球面,则可看出 dQ 也就是 ds 对 P点所构成的锥体在球面上割出的面元ds,的立体角[图2-4(a))。个形状任意的闭合面S对某点P所张的立体角有两种情况：(1)点P在S之内。由图2-4(b),显然有Q=4元(2)点P在S之外，见图2-4（c)），由于S的法线指向闭合面外，闭合面的两半（分别在锥口内外)的总球面度数恰好正负相抵消，从面必有Q=0。下面推导真空中的高斯定律。如果我们在一个点电荷α的静电场中任取一个闭合面S，根据库仑定律，E穿出S 的净通量应为4m ds = f, d: = f dofE·ds =f, 4moAR根据上述关于立体角的知识，可立即得到q在S面外SE.ds-q在S面内推广到多个点电荷的情形，则有.32