《电磁场与电磁波》课程教学资源（文献资料）电磁场与电磁波，第二版习题解答，杨儒贵，共十章

第一章矢量分析第一章题解1-1已知口三个矢量分别为A=e+2e,-3e：B=3e,+e,+2e.:C=2e,-e..试求①|Al[Bl ICl:②单位矢量 e.ep,e.:③ AB;① AxB;(AxB)xC及(AxC)×B; @(AxC)-B及(AxB):C。解①=++=P+22+(-3=V14[B=B: +B, +B =V3 +1 +2=V14I=/C +C, +Cg =/2 +0° +(-1 = 5@ *-一-6+2--)-一-06 +2)--周--1α-)③ A·B=AB,+A,B,+AB,=3+2-6=-1Jex ey el lex ey e: AxB=4 A, A=i 2-3=7e, -1le, - 5e.BB,B|312]eree.@ (4xB)xC=7 -11 -5=1le,-3e,+22e:[20-=[exer eller ey e]因4A-12AxC=A.-3--2e, -5e, -4e.cc,c2 0-11

1 第一 章 矢量 分 析 第一章 题 解 1-1 已 知 三 个 矢 量 分 别 为 y z A e e e  x 2 3 ； y z B e e e  3 x  2 ； z C e e  2 x  。试 求 ① | A|, | B|, |C | ；②单 位矢量 ea eb ec , , ； ③ AB ； ④ AB ； ⑤ (AB)C 及 (AC)B ；⑥ (AC)B 及 (AB)C 。 解 ① 1 2  3 14 2 2 2 2 2 2 A  Ax  Ay  Az      3 1 2 14 2 2 2 2 2 2 B  Bx  By  Bz     2 0  1 5 2 2 2 2 2 2 C  Cx Cy Cz      ②   y z e e e A A A ea x 2 3 14 1 14        y z e e e B B B eb 3 x 2 14 1 14       z e e C C C ec    2 x  5 1 5 ③ AB AxBx  AyBy  AzBz 326 1 ④ y z y z x y z x y z y z B B B A A A e e e e e e e e e A B x x x 7 11 5 3 1 2    1 2 3    ⑤   y z y z e e e e e e A B C x x 11 3 22 2 0 1 7 11 5          因 y z y z x y z x y z C C C A A A e e e e e e e e e A C x x x x x 2 5 4 2 0 1 1 2 3         

[exeye](4xC)xB=-2 -5 -4=-6e-8e, +13e:则312③ (AxC).B=(-2)x3+(-5)x1+13x2=15(AxB)C=7×2+0+(-5)x(-1)=19 。1-2已知z=0平面内的位置矢量A与X轴的夹角为α位置矢量B与X轴的夹角为β，试证cos(α-β)=cosacosβ+sinαsin β证明由于两失量位于z=0平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为A=e:/4cosa+e,/4sinaB=eBcosβ+e,Bsin β已知A·B=AB|cosα-B)，求得[Bcosacosβ+4Bsin asin βcos(α-β)=[4|B即cos(α-β)=cosacosβ+sinasin β1-3已知空间三角形的顶点坐标为P(0,1-2)，P(4,1-3)及P(6,2,5)。试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？解由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为P=ey-2e.: P =4e, +e,-3e.;P, =6e, +2e, +5e.那么，由顶点PI指向P2的边矢量为P, -P=4ex -e:同理，由顶点P2指向P，的边矢量由顶点P,指向P的边矢量分别为P,-P, =2ex +e, +e.P-P, =-6e, -e, -7e:2

2 则   y z y z e e e e e e A C B x x 6 8 13 3 1 2    2 5 4     ⑥ ACB235113215 ABC 7205119。 1-2 已 知 z  0 平面 内的 位置 矢量 A 与 X 轴 的夹 角 为 ， 位置 矢 量 B 与 X 轴 的夹 角 为，试证 cos(  )  coscos sinsin  证 明 由于 两 矢量 位 于 z  0 平面 内， 因 此均 为 二 维 矢量 ， 它们 可 以分 别 表示 为 A ex A cos ey Asin B  ex B cos ey B sin  已知 AB  A B cos   ， 求得   A B A B   A B     cos cos sin sin cos    即 cos(  )  coscos sinsin  1-3 已知空间三角形的顶点坐标为 (0, 1, 2) P1  ， (4, 1, 3) P2  及 (6, 2, 5) P3 。试 问：① 该三 角 形是 否 是直 角 三 角形 ； ②该 三 角形 的面 积 是多 少 ？ 解 由题 意 知， 三 角 形三 个 顶点 的 位置 矢量 分 别为 y z P e 2e 1   ； x y z P 4e e 3e 2    ； x y z P 6e 2e 5e 3    那么 ， 由顶 点 P1 指 向 P2 的 边 矢量 为 z P P e e 2  1  4 x  同理 ，由顶 点 P2 指 向 P3 的 边 矢量 由 顶 点 P3 指 向 P1 的 边 矢量 分 别为 y z P P e e e 3  2  2 x  8 y z P P e e e 1  3  6 x  7

因两个边矢量(P,-P)·(P,-P)=0，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形，A[P, -P= ~42 +1 = /17[P -P= V22+12 +82 = V69所以三角形的面积为S=IP,-PP-P|=0.5/11731-4已知矢量A=esy+e,x，两点Pi及P2的坐标位置分别为P(2, 1,-1)及P(8,2,-1)。若取 Pi及P2之间的抛物线x=2y或直线RB为积分路径，试求线积分A-dl。解①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为x=2y2dx=4ydy，则"A.d/- "(vdx+xdy)-I"(4y dy+2y dy)-["6y dy=2yl, =-14②积分路线为直线。因R,B两点位于≥=-1平面内，过P,P两点的直线方程为y-1=(z-2)，即6y=x+4,dx=6dy，则"4.d/=["6ydy+(6y-4)dy=(2y-4),=-14。1-5设标量=x+yz，失量A=2e,+2e,-e.，试求标量函数Φ在点(2,-1,1)处沿失量A的方向上的方向导数。解已知梯度+e+=+e,(2y+)+e.3yV@=e.xaxtey ayz那么，在点(2,-1,1)处Φ的梯度为V@=e, -3e, -3e:

3 因两 个 边矢 量 (P2  P1 )(P3  P2 )  0 ，意 味该 两 个边 矢 量相 互垂 直 ，所 以 该三 角形 是 直角 三 角形 。 因 4 1 17 2 2 P2  P1    2 1 8 69 2 2 2 P3  P2     ， 所以 三 角形 的 面积 为 0.5 1173 2 1 S  P2  P1 P3  P2  1-4 已知 矢 量 y xy A e e  x  ，两 点 P1 及 P2 的坐 标 位置 分 别为 (2, 1, 1) P1  及 (8, 2, 1) P2  。若 取 P1 及 P2 之间 的 抛物 线 2 x  2y 或直 线 P1P2 为积 分 路径 ，试 求 线积 分   1 2 d p p A l 。 解 ① 积 分 路 线 为 抛 物 线 。 已 知 抛 物 线 方 程 为 2 x  2y , d x  4yd y ，则 d  d d  4 d 2 d  6 d 2 14 1 2 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2              y x x y y y y y y y y P P P P P P P P A l ② 积 分路 线 为 直线 。 因 P1 , P2 两点 位 于 z  1 平面 内， 过 P1 , P2 两点 的 直线 方 程 为  2 8 2 2 1 1    y   x ，即 6y  x4， d x  6d y ，则 d 6 d 6 4d 12 4  14 1 2 2 1 2 1 2           y y y y y y P P P P A l 。 1-5 设 标量 2 3   xy  yz ，矢 量 y z A e e e  2 x 2  ，试求 标 量 函数在点 (2, 1, 1) 处 沿矢 量 A 的 方向 上 的方 向导 数 。 解 已知 梯 度 2 2 2 y (2xy z ) 3yz x y z x y z x y z e e e  e e  e               那么 ， 在点 (2, 1, 1) 处 的梯度 为 x y z   e 3e 3e

因此，标量函数在点(2,-11)处沿失量A的方向上的方向导数为Vo. A=(e, -3e, -3e.)(2e, +2e, -e.)=2 -6+3=-11-6试证式（1-5-11.式（1-5-12）及式（1-5-13)证明式（1-5-11）为V(4)=+，该式左边为(04)=:%((@y)+e,2(04)+e.%(@y)-0(+)yd+o94+00y+ey+e./yarfov2a=y+W@即，V(O4)=+WD根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13)。1-7已知标量函数=sin号xsin号yle，试求该标量函+数Φ在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。解标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数Φ的梯度为00+e00+e.00V0=l+e,+te:0那么V=(cossin+(sincos(smsmg)

4 因此 ，标量 函 数在点 (2, 1, 1) 处沿 矢 量 A 的方 向上 的 方 向导 数 为  A ex 3ey 3ez 2ex 2ey ez  263 1 1-6 试 证 式（ 1-5-11）， 式 （1-5-12） 及 式（ 1-5-13）。 证 明 式（ 1-5-11） 为   ，该 式左 边 为         x y z y z           e e e x                                      x x y y z z y z            e  e e x                                  x y z x y z y z y z         e e e e e e x x   即，   。 根据 上 述复 合 函数 求导 法 则同 样 可证 式（ 1-5-12） 和式 （1-5-13）。 1-7 已知 标 量函 数 z x y e               3 sin 2 sin    ，试 求该 标 量函 数 在 点 P(1,2,3)处的 最 大变 化 率及 其方 向 。 解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯 度值 。 已知 标 量函 数的梯度 为 x y z y z               e e e x 那么 z y z x y e x y e                              3 cos 2 sin 3 3 sin 2 cos 2        e e x z z x y e               3 sin 2 sin   e

将点 P(1,2,3)的坐标代入，得(V),=-,%-号。。那么，在P点的最大变化率为元+27,=-e--号P点最大变化率方向的方向余弦为/27cosα=O; cosβ=COSY=元+27√元2+271-8若标量函数为@=x? +2y +322 + xy+3x-2y-6z试求在 PI,-2, 1)点处的梯度。d+e +e2，将标量函数代解已知椰度0α+，%+02入得V@=e,(2x+y+3)+e,(4y+x-2)+e. (6z-6)再将P点的坐标代入，求得标量函数Φ在P点处的梯度为(v0), =3e -9e,1-9试证式（1-6-11）及式（1-6-12)。证明式（1-6-11）为V(CA)=CV.A，该式左边为(CA)-(CA)+(c4)+(CA)-d%+%+)-cV-A(axyz )即V.(CA)=-CV.A式（1-6-12）为V(A)=V.A+A.VD，该式左边为()-(4)+()+(4)=4.+0+400+04+49+0AoAxaxAyQy05

5 将 点 P(1,2,3) 的 坐 标代 入 ，得   3 3 2 3 6      e  e P y z e e   。 那么 ， 在 P 点 的最 大变 化 率为 27 2 6 3 6 2 3 3 3             e e e P y z e e P 点 最 大变 化 率方 向的 方 向余 弦 为 cos  0 ； 27 cos 2       ； 27 27 cos 2      1-8 若标 量 函数 为 x 2y 3z xy 3x 2y 6z 2 2 2         试求 在 P(1,  2, 1) 点处 的 梯度 。 解 已知梯度 x y z y z               e e e x ， 将 标 量 函 数 代 入得   2x y3 4y x2 6z6 y z e e e  x 再 将 P 点的 坐 标代 入 ，求 得 标量 函 数 在 P 点处 的 梯度 为  P y e e  3 x 9 1-9 试证 式 （1-6-11）及 式 （1-6-12）。 证 明 式（ 1-6-11） 为 CACA ，该 式左 边 为  A         A                            C z A y A x A CA C z CA y CA x C x y z x y z 即 CACA 式（ 1-6-12）为 AA A ， 该 式左 边 为         x y Az z A y A x              A  z A z A y A y A x A x A z z y y x x                        