3-4-5-6-1。环路C随着小立方体的无限缩小而向着M点无限收紧。沿C的环流ΦA·di可看成由分别环绕AS,AS,、AS,的=个小环流中，、Φ。中。构成。C为1-2-M6-1.C,为23-4-M-2,C,为6-M-4-5-6。其中在M2,M-4,M-6这三条棱上可看成各有两个反方向的线积分相抵消而为零。这三个小环流都与它们各自的面元大小有关。就同一点M处而言，显然面元的而积越大，一般环量就会越大,所以可定义SAdi（i表）(1.4.3)rot;A =lim△.S,作为场量A在而元AS，的旋转强度（也称环流强度、环量密度)。三个面是相互正交的，因此这三个极限值（1.4.3)不能进行数量相加，而只能按矢量来合成。因此，矢量场A中某点M处的旋度应定义为$.A - dl$.A-dA·dirotA = a, lim+aylim+ alim.ASAS.1f.A-dl(1.4.4)limAS上述极限值与C的形状无关，故而我们取了如图1-13的最易计算的形状（而一个任意的三维闭合曲线及面元可能如图1-8或图1-14c所示)。先计算(1.4.4)式中的第一项。沿小环路C,的环量为Adl=qA·di=A,Ay+(A +y)A-(A, +z)y-A.2-Ay- yA而AvA之=AS.，故由上式得AS，面上的旋转强度为f.s-d3A._aAms.ay用同样的方法，可以算出(1.4.4)式的第二、三项，即d.A.dl会-验AS,面上的旋转强度为limoAs,azfs.diA--3AAS.而上的旋转强度为m2s把以上三个分量按失量相加，即得到三维空间中的旋[转强度矢量：rot-a.(-)+a,(-)+a(-)a13
=(a+a+a品Ix(aAr taA, +aA)-VXA(1.4.5)上式亦可写成aa,a](1.4.5)XA=axayazAAA这就是矢量场的旋度在直角坐标系下的计算公式。再根据(1.3.5)和(1.3.6)式以及(1.2.3)和(1.2.11)式，就可算出：在圆柱坐标系中×A-α,(-)+a,()+[(A,)-]a20或简捷地写成1%a.0VXA=(1.4.6)最品品[A,pA,A.在球坐标系中VxA-[%(mn A,-][%(rA,)]+[%(rA,)]或写成。。019(1.4.7)VXA品品A,rsin @A,rAe下面我们以(1.4.5)式中的第三项α(会-兮)(1.4.8)为例(前两项同此),用实例来进一步表明旋度公式确实表示了每一点处的实际旋转趋势。为了形象起见，在图1-14中我们以箭的长短表示矢量的大小，如图1-14(a)中某点处的河水流速u.沿y方向有变化时，置于该点的小翼轮就会转动。由于%>0,u，=0,1.4.8)式为负值，轮的转向将与轴负方向成右旋关系（简称"反转")。又如图1-14(b)中的十字转柄处于力场A中的某点，以该点为中心，A,值沿轴的变化为A>0,它使转柄反转，故表现在为会>0,它使转柄“正转",A分量沿轴的变化为1.4.8)式中为两转矩相减，总的转矩使转柄正转、反转还是不转，取决于(1.4.8)式大于、小于还是等于零。显然，若A，沿方向、A，沿方向无变化(偏导数为零）,置于该点处的转柄或: 14
翼轮就不会转动。当矢线呈弯转状时，并不意味着此处旋度一定不为零。例如弯管子中的流速场，若内、外侧的流速大小与管子的弯度配合得好而使(1.4.8)式为0,置于转弯处的翼轮也不一定就旋转。to1ETH(b)图1-14旋度公式的物理解释(a)用河中的翼轮解释旋度的含义：(b)用十字转柄解释旋度公式(c)旋度代表最大的环流强度。总之，在各种情况下，旋度的计算公式都反映了某点处的实际旋转趋势。由这些公式看出,旋度矢量反映的是场量沿其垂直方向上的变化情况,例如 A,沿y、2方向的变化率,A,沿之、z方向的变化率,A 沿、z 方向的变化率,等等。场量这种沿垂直方向变化的效果是可能引起旋转、旋涡（这一点从旋度计算公式（1.4.5)的推导过程就可以看出）,旋度不等于零是产生旋涡的基本条件。旋度处处为零的矢量场就是无旋场。这种导致旋转的场量变化，在实际的场中，都是由涡旋源引起的（例如磁力线的旋涡就是由电流引起的)。故≠0表明该点有涡旋源V×A=0 表示该点无涡旋源由附录A2中(A2.13)式和(A2.16)式的证明，旋度也是一种体积导数：-$AXdsV×A= lim因而VA仍然是点的函数，×A的分布就是涡旋源的分布。我们可以用这样的文字来描述旋度矢量：它的模表示某点旋转力度的强弱，同时也反映了涡旋源的强弱（二者应是因果关系）；它的方向也是涡旋源（矢量）的方向，这个方向垂直于实际的旋涡面（即沿着转轴）,并与旋转方向成右旋关系。如图1-14(c)所示。旋度矢量垂直于旋涡面并不意味着它就一定垂直于场量。例如,由 B,=α,e和恒定场B,=a,B。(uoJ、B为常数)选加而成的矢量场B=B,+B2,B线是围绕轴的螺旋线易知×B并不垂直于B。这是因为×B,=0,故×B=V×B,+×B,=×B1,它垂直于B1。还需指出，如果我们在某点任取一个回路C，它包围的AS（法线为n）与场量的实际的旋涡面不重合，而是夹角8,如图1-14(c）所示，显然将导致环量下降。故而沿C的环流强度S.A.dl一只会小于rotA，且rot.A = lim.AS· 15 ·
rot,A (rotA)n(1.4.9)换言之，|rotAI是某点处最大的环流强度或旋转强度。总之,有了旋度的概念,再配合散度的概念，我们就对失量沿空间各个方向上的变化情况，对矢量场的性质，得到了一个全面的认识。例1.5在p=2的圆柱面上取两点P(2,0,0)和Q(2,2元,2.5)。计算场量A=a,(e"/p)+a.cos元z沿者螺转线1由P到Q,再由Q沿直线2下降到P.的闭合路径的环量，并求失量场A的旋度。解具有a，和a.方向初速度的电子在恒定磁场a,B中的运动轨迹就是形如图1-15所示的螺旋线。由1.2节知柱坐标系中的位移矢量为dl=dr=a,dp+apdg+a,dz图1-15例1.5题图=0+a,2dp+ a,dz故A-d-dp+a,cos nz).(ag2dg+a.dz)cos nzdz=1/n这恰与A沿直线2由P到Q的积分值。4·dl相等，从而piopA-dl =A·di+ /nnA-dl=A-dl-A-dI=0PL上式表明，『.A·dI值与路径无关就意味着A沿任意过P、Q点的闭合路径的积分为零。再由(1.4.6)式，可得2elaa.paVXA=|%=0aze0C0S元z可见A是无旋场。由下面的定理我们还可知A沿任一闭合曲线的积分都会是零。3.斯托克斯定理正如关于矢量的通量和散度有一个散度定理，关于失量的环蟹和旋度也有一个“旋度定理",这就是以它的证明人英国物理学家和数学家斯托克斯(Stokes)命名的定理。斯托克斯定理表明了环量这一积分量与旋度这一微分量之间的关系，也即环流和造成环流的涡旋源之间的关系：S.A-dl-,VXA-ds(1.4.10)这个定理的含义是：场量沿着场中任一回路C的环量大小取决于C所包围的曲面上涡旋源的多少。这个失量恒等式显然也是与我们的直觉相符的，但还须作如下的证明：·16·
设C是矢量场A中的任一条闭合曲线（如图1-16)，S是C所张的任一张曲面。我们把S划分成许多小网格，则每一个网眼都是一个小闭合曲线Ci，C,，,CN。规定所有C，的绕向都统一，并与C的绕向一致。我们先计算出场量沿每个小回路C.的环量，再将它们全部加起来。我们注意到：每一条两个相邻网眼的公共边上的线积分「A·dl都被计算了两次，例如放大画出来的PQ边，在计算。A·dI时是按A·dI计算的,而在求，A-dI又是按。A·dl计算的，二者等值反号eC这样，所有的小环量全部相加时必然成对抵消，只剩下构成宏观环路C的那些小边上的线积分抵消不掉面构成沿C的宏观图1-16斯托克斯定理的环流：证明示意图f.4-dl=9, 4-dl而根据(1.4.9)式有+,A·dl=rot,AAS, -rota·S. (i-1,2,,N)故而f,A·dl .A·di rotA-AS,- J,rotA ds (N→00)例1.6求A=aa.y?+a沿着zy面上的一个闭合路径C以及任意闭合路径的曲线积分，C由(0,0)和(2,/2)之间的一段抛物线y=x和两段平行P(2.V2)于坐标轴的直线段组成，如图 1-17 所示。解因为回路在 ry 平面上,dz=0,放有A-di =A,dr +A,dy=x'dr + y'dy在计算沿抛物线一段的积分时,可以分别计算两个积分I,A-di = f, r'dr+ (" y'dy也可以利用=消去一元，只计算一个(关于或的)积分：图1-17 计算沿闭合路dy=dx/(2/)ydy=/adx/2径 C 的环量于是f,4-d =I"r'dr+ Iydy+(+)daV=号1+号1+(号+学)-0注意：在计算沿有向曲线的积分时，不管绕行的方向如何，被积函数 A·dl=A.dz + A,dy+A,dz中的dr,dy,dz总取正值，曲线绕行方向所导致的积分值的正负是由对坐标积分时的17