内是如何分布的。若想得知具体到某点的情况，就需要向某点处收拢包面，使包含这点在内的体积At-0。由此而引人一个微观概念或微分量一矢量A的散度（divergence)，记为divA。它的定义式是SA.dsdivA=(1.3.3)该式右边表示某点处发出的体平均净通量或净通量密度，因而散度也是通量[函数]对空间或对体积的变化率(参见下面对计算公式的推导）,是一种体积导数。正像)的导数F(z)仍然是的函数,A对体积(空间)的导数V·A仍然是空间点的分布函数。下面我们根据定义式（1.3.3)推导散度在直角坐标下的计算公式。既然divA与△的形状无关(只要0)，我们不妨取A为包含某点（z,,z)在内的平行六而体，该点也不妨置于顶点处，如图1-9所示。A从前、后一对面元发出的净通量等于从前面穿出的减去从后面穿人的通量，也就是等于通量函数A·△S，即A.AyA沿方向的微增量：A+(A +y同理，A从左、右一对而元发出的净通量等于通量函数A·AS，即A,AzAr沿y方向的微增量：图 1-9 在直角坐标系中计算 divAArAyAz-A,AAr+(A,+Ay)A=A从上、下一对面元发出的净通量等于通量函数A·AS，即A,AzAy沿z方向的微增量：AArAyAAy-A.ArAy+(A.+)把这三个式子相加，便得到A从整个闭合面S发出的净通量：,4ds-(会++)而Ar=ArAyA2fAdSA+A+A敬divA = lim At显然，某点处A的散度值取决于该点A，沿方向、A,沿y方向和A，沿方向的变化率，因面散度描述的是某点处场量的各分量沿着它自身的方向，或说场量在其平行方向上的变化情况。这种变化的结果是可能导致包围该点的小闭合面有A的净通量被发出或吸收。实际的场中净通量都是由正(负)的源发出（吸收)的,因而(1.3.3)式定义的散度值也应代表某点处有无散度源以及源的强弱：[>0 表示(一,3,2)点有喷泉”,即正的源|有源divA(,,<0表示(,,z)点有漏口",即负的源=0表示（,)点无源失量场的散度的定义式与散度值与采用的坐标系无关，但在不同的坐标系下有不同的计算公式。.8-
为了计算和表达上的便捷,我们引人矢量微分算子V,也叫汉密尔顿算符(读作del 或 Nabla)它在三种坐标系下的定义式分别为直角坐标系V=a是+a,最+a.品(1.3.4)圆柱坐标系V=a,o+ata.a(1.3.5)tapa球坐标系V=a,&+a品+a,sh(1.3.6)√可视为一种特殊的矢量，它的每个“分量"为微分符号,因而又对"乘"到的项起求导的作用,这就是“矢量微分算子"这一名称的含义。这一算子的引人,可使对矢量的微分运算变为与√之间的矢量代数运算,可利用各种矢量恒等式把复杂的矢量运算转化为简单的矢最或标量运算，简化分析，简化表达式，导出许多有用的结果，根据点乘的定义，,我们可以把散度重新写成√算符(1.3.4)与A点乘的形式：divA-++A=(a+a,+a)(aA+a,A,+a,A.)V(1.3.7)在圆柱坐标系中,则取(1.3.5)式与A的点积。与直角坐标下不同的是，此时单位失量a,va,也要对p求导A-(a+, +.)(aA,+A,+aA.)=0, (a+a, +a.)+,(++++)+a (+,+验)-++1+pa品(,)++会(1.3.8)a在球坐标系中，应取(1.3.6)式与A的点积。按照与(1.3.8)式相似的计算方法，可导出AVA-%(rA,)+%(sn A,)+(1.3.9)对于散度所能表达的物理含义,还可举一个气体流速场中的例子。例1.3考虑一个气简，突然打开气门，被压缩的空气的流速将是越靠近气门越大，如图1-10(a)(b)所示。设 v=a,kr,求 V·V。解根据(1.3.7)式m=V.9
表明各点都存在着大小为常数的源。这是朝一个方向放气的例子。更一般的例子是下面的向“四面八方"放气的情形【在图1-10(b)（c)中，为了形象起见，特以箭失的长短来表示的大小。以矢线疏密表示大小的正规画法示于图1-10(a)。(c)(a)(b)图1-10压缩气体的流速场规面法示意图;(b)气简中流出的压缩空气的流速场a,x的形象表示：（a)矢量场a,kc)球状压缩气体的流速场kr的形象表示。例1.4想像一个爆炸的气球，设某点处气体的流速同该点与原点的距离成正比，其流速分布如图1-10c所示为v(r）=kr,求·U解在例1.1中我们已计算过量场kr穿过半径为a的半个球的表面的通量是2ka表明了球面内有源存在。现在我们可以利用散度概念来详细考查场源在每点的分布情况。依(1.3.9)式,v(r)的散度为V.0=(u,)=(kr)=3k这个结果表示空间各点都连续存在着其值为常数 3K的源。它是由压缩的气体形成的。因此，·D0(=0)也表明流体可(不可)压缩的性质。总之，失量的散度为零或不为零，反映了场的不同特点，反映了失场是否有“喷泉"或“漏口”，是否可压缩等基本物理特性。如果一个矢量场中散度处处为零，就是无散场。3.散度定理一散度定理。它表明了矢量场穿出边关于散度，有一个重要的矢量恒等式或积分定理界面的净通量这一积分量与体积中的散度这一微分量之间的关系，也即通和散发（吸收)通量的源（散度源)之间的关系：J,A.dS-V·Adt(1.3.10)这个定理表明：失量穿过任意闭合面的净通量等于闭合面内所包围的所有源的体积分。也就是说，有多少通量（正的或负的)能从闭合面发出，取决于它里面有多少源（正的或负的）。这个结论是符合直觉的，但还需加以证明将闭合面S与包围的体积分割成许多小体积元At，如同将一个未削皮（S)的苹果（t)切成许多小丁At）,计算每个小丁的外表面S；上场量A的净通量Φ。A·dS,，然后将其全部.10
选加起来。可以想见，一个小丁的某个“刀切面"上若有流线流人（通量为负数)，它必定是从相邻的小丁的那个相邻的刀切面上流出来的(通量为正数)；反之亦然。因此，迭加的结果，所有小丁的刀切面上的通量全部成对抵消，只剩下带有苹果皮的小面上的通量未被抵消。它们“拼”在一起，恰构成一张完整的苹果皮S上的通量24, 4 ds = f, 4 ds而由散度的定义式(1.3.3),有A -dS, = divAAtifs, A-dS2=divAAt2A·dS,=divAt从而有f,A.ds-Zd A-ds.-E divAAt;- divAdt (n-→oo)1.4矢量场的环量和旋度斯托克斯定理矢量场的通量和散度只描述了矢量场特征的一个方面。以流速场为例，仅仅知道有无“喷泉”、“漏口”，能否压缩，还不能知道流速场的全貌，流速场中有无旋祸也是流速场的重要现象之一。因此，还需要引人环量和旋度的概念才能对矢量场的这一面貌特点加以描述。1.失量场的环量（环流）矢量场往往是力场。从力沿着曲线路径作功的熟悉的物理概念出发，就不难理解环量。下面我们就一步步地引出环量的定义。在矢量场A中任取一条闭合路径C并选定绕行方向。显然，C是有向曲线。C上的一小段线元（一小段曲线无限缩短就可视为直线段）当然也就是有方向的，因面是线元矢量或位移矢量dl。P1、P，是C上的任意两点，如图1-11示。易知：场量A沿线元dI做的功为A-dl场量A沿曲线路径P,P，做的功为图1-11 失量 A沿曲" Adl-'Acos 8dl =[' (Ardr +Ady+A.dz)线路径作功[ (A,do+A,pdp+ A,dz)[ (A,dr+ Ardo+ A,rsin odo)(1.4.1)场量A沿闭合路径C(即曲线路径P,P,+P,P)做的功:11:
f,A-dl=d, Acos od(1.4.2)就称为矢量A沿环路C的环量，也称环流。在每种坐标系下(1.4.1)或(1.4.2)式一般都代表着三个沿坐标轴的积分。沿有向曲线的积分是第二型曲线积分（也称对坐标的曲线积分），积分的正负与曲线路径的走向有关；这反映出在力场中场力作功为正值，外力克服场力作功为负值的物理事实。矢量A沿闭合环路的积分值即矢量场A的环量有两种相反的情况。第一种情况。试想，在水的旋涡或龙卷风的旋涡处围绕旋涡中心取一个闭合路径 C。如果C的绕向是顺着流速的方向，也就是顺着水力或风力F的方向，由于C上的dI与场量F的方向总是大体一致，因此必有ΦF-dI>0,F做正功。每转一圈，F就使物体获得大小为d,F·dl的动能。不断积累下去，物体的动能越来越大，故而房屋、车辆都会旋走。反之，若路径C的取向是逆着旋涡的转向，则是外力克服F作功，环量Φ_F·dl<0。总而言之，不会是零。前而曾提到过的磁力线也是闭合曲线，因而沿着磁力线绕行一周也必定有H·di+0。再看另一种相反的情况。如图1-12所示。若我们图1-12地球引力场G的环量为需在地球引力场中任取一个环路C，物体在下降（上升）的半圈中，重力G与dl大体上总夹锐（钝）角，G作正（负）功。于是，从P点绕行一圈回来，必有Φ,G·dl=0,物体回到出发点P时势能不增不减。这是熟知的事实，说明地球引力场中没有旋涡，事实上，任何引力场中都没有旋涡。例如静电场。总之，有1aaEs kc表明C不包围涡旋源因为实际的场中旋涡总是由涡旋源引起的。2.天量场的旋度环量是积分量，不能说明以环路C为边界线的曲而上每一点的情况。若C包围有涡旋源，也不能知道是在哪些点。欲知某点处有无涡旋源以及源的强度，只有把环路C向着该点(例如图1-13中的点M)无限收小，使C所张的曲而的面积AS-→0。由此引出一个微分量旋度（rotation或curl)的概念。矢量场的旋度记为rotA。下面介绍旋度的定义、计算公式和物理含义。一般来说，若某点处有旋转趋势，场量的实际旋涡面A.S不会简单地平行于某坐标平而，而是在三个坐标平面都有投影：AS,、AS,、AS。计算AS而上场量的旋转趋势可以分解成计算AS、AS,、AS,坐标面上场量的旋转趋势。我们考虑如图1-13所示的小立方体的棱构成的空间图1-13在直角坐标系中计算rotA环路C,它是AS，AS，和AS.三个面元的总边界线1-2·12