的.因而形成“活动三角架”。这三条“轴"的正方向之间应构成右旋系统，也称右旋关系（即右于螺旋关系)：a,Xap-a.,a,Xa=ap,a,xa,=a且在同一点处的aa。a，构成正交欠量组：ap-a,=a,*a,=a.'a.=1ap-a,=aa.-a.a,=0一般，每一种正交曲线坐标系的坐标轴e,，e2,e，的正向之间都应构成右旋系统（见图1-2)：a, Xay =ag, ag Xan -ag, ag Xa, =a.例如，在直角坐标系中，，，轴的止向之间应构成右旋系统：Xaa,Xa.=a,a,Xa,=a0圆柱坐标与直角坐标间的换算关系为p=V?+yr=p cos g(1.2.1)tan = y/xy=p sin g单位矢量间的换算、即方向的换算关系为a,=a, cos g ay sin ga, =ap cos -ag sin gl(1.2.2)a, =a, sin g+ a, cos g]=a sin + a cos gj这些换算式不难通过解代数方程组或几何作图得到从(1.2.2)式也可看出，a。、4。虽然模恒为1,是定模失量，但都不是常失量(因为它们的方向随变化),而是的函数，从而可以对求导而得到1asingtayc(1.2.3)任一点（p,@，2)处的场矢量A(p,，)可以分解到该点处的三条圆柱坐标"轴"上去：A(p,p,z)=aA,(p.,2)+aA,(p,P,2)+aA,(p.P,2也可以分解到非圆柱坐标轴上去。措述场量的坐标系和描述点的位置的坐标系不一定要相同，如习题1.9。还需要指出,在非直角坐标系中,由于空间不同点处坐标"轴"的方向不同(直线坐标轴除外），故而场失量之间相加、乘有时需要先转换到直角坐标系去。场的许多公式、定理是与坐标系无关的，因而常常需要把空间点表示成与坐标系无关的形式,这就是点的位置失量r。它定义为从原点指向某点的失基,其模等于该点到坐标原点的距离。显然，空间点的集合是与的集合一一对应的，于是点的函数一场量就可表示为「的函数A(r).u(r)。在需要的时候再将其展开为具体坐标系下的形式。显然，在直角坐标下+a，在圆柱坐标下=ap+a,。可见，除了在直-A+角坐标下，位置失量的表达式中并不直接反映出某点的所有位置坐标,例如r的β 坐标隐含在a。的方向中。此外,线元失量或点在空间的位移矢量d 也可用位置失量r的微分，即r的微增量dr来表示，见图1-4。由上所述，圆柱坐标系中r是β， 和的三元函数,因为a,是β的函数。利用复合函图1-4位移失量或线元失量数微分法及(1.2.3)式求r的全微分，可得.3
dr = d(ap+ a,z)do+rdprdotada.ddz=dl(1.2.4).0otu0d上式表明，一个空间的线元矢量dl在圆柱坠标系的三条“轴”上的投影(分量)分别是dppde,dz，它们是每一维上的长度元。有了这些“边长",再计算三个圆柱坐标面上的面积元和圆柱坐标系中的体积元就很方便了。分别与a。a,，a，垂直的三个面元为dS,=dodzdS,=pdpdg(1.2.5)dS,=pdpdz体积元为dr=pdpdedz在非直角坐标系中，每个坐标的微分并不都是线度（长度），每一维上的长度元与坐标的微分之比称为度量系数,它也就是坐标的微分(如 dp)换算成长度元(pdg)时应乘的系数(p)。由(1.2.4)式,圆柱坐标系的度量系数应为hz=pde=ph,=de=1h,=d:=1(1.2.6)各种不同坐标系是以其度量系数为特征的，并可以由三个度量系数来完整地描述。只要将h1,h2，hs具体化为各种特殊形式，就可引出各种特殊的正交坐标系。一般，对任一个正交曲线坐标系，有dl =aerh,de, +aezh2de, + aeghadesdS., = hzh,de, dey(1.2.7)dSe2 = hsh, de,derdSes =h,hzde, de?dt = h,hzhsde de, des当场量的大小只与场点到2轴的垂直距离有关，即场的分布呈圆柱面对称时，如果采用圆柱坐标来表示场量,就只需β一-个坐标,这显然比在直角坐标下处理多元变量要简便。二、球坐标系球坐标的构成为：rE[0, +00]表示点到球心的距离；[0,元]是任一射线与2轴（极轴）正方向的夹角，起“纬度”的作用；gE[0,2元] 同圆柱坐标，起“经度"的作用。r的等值面为同心球面，的等值面是以极轴为轴线的圆锥面，的等值面为子午面。这三张正交曲面交出的三条轴的正方向之间应构成右旋系统：a,Xag=ag,agXag=ar, a,Xa,a作为正交失量组，在同一点处有：a,'a,-agagaa,"ag=ag'a-a.a,=0·4·
如图1-5所示，球坐标与直角坐标之间的换算式为r=r'+y+2x= rsin Scos Φ(1.2.8)y= rsin sin ptan 0=V+y/z2= rcos 0 tan p= y/a单位矢量之间的换算关系为a, = arsin dcos g+ a, sin sin+a,cos 8(1.2.9)ag arcos 8cos g+ aycos Ssin p-a,sin e?a,sin +aycosa.a,= a, sin Scos Φ + ag cos Goos 9sinp(1.2.10)a, = a, sin fsin p + agcos &sin p+ agcosa, = a,cos 9 - agsin 8球坐标系中的单位矢量也都不是常失量，其方向是随点而变的，是和β的函数。我们对(1.2.9)式求导,得3e3%=4=a,sinSe = a,cos 8(1.2.11)-a%-0-a, sin 8- aacos 6ac任一点(r,9,)处的场失量A(r,0,)可分解到该点处的三条球坐标“轴”上去；A(r,8,p)=aA,(r,0,)+aAs(r,8,g)(1.2.12)aA.(r,8,p)图 1-5 球坐标系位置矢量在球坐标下具有最简的形式rma,r由于a,=a,（,),故r实为r,,的三元函数。其全微分为dr -odr+nde+grdg= a,dr + aardo + agrsin fdq(1.2.13)=dl可见球坐标中每一维的长度元(空间线元dl 在三个轴上的投影)分别为dr、rd、rsin dp。度量系数为(1.2.14)h, = rsin 8h, =1h2=r在球坐标的三个坐标面即r、0、的等值面上的面元(它们分别垂直于a,vaev4,)分别为ds, =r'sin adodp(1.2.15)dSe = rsin odpdrdS,=rdodrdt= r' sin drdedp体积元为如果场的分布呈球面对称，即场量大小只与场点到球心的距离有关时，采用球坐标将使得场量:5
的表示只需用元坐标。1.34矢量场的通量和散度散度定理1.失量场的通量描述矢量场的性质的一个重要的量是失量的通量(flux)。一个最熟悉的例子就是水流过其截面上任一块面积的流量，它就是水的流速场v(m/s)穿过曲面S(m2)的通量(m /s）)。这个通量的大小显然是同S的法线n相对于的倾角8有关的（图1-6)。面元的法线指垂直于该面元的一单位长的失量。为了严格地定义矢量的通量，我们作如下一系列的定义：(1)面元失量ds指大小为面元面积dS，方向为面元法线n的矢量。图 1-6 流速场 穿过曲面图1-7面元法线S 的通量(a)开表面的面元法线(b)闭合面的外法线，穿过闭合面的通盘。对于开表面，规定n的正方向与面元边界线C的绕向成右旋关系[图1-7(a)]。对于闭合面，规定n的正方向指向闭合面外(图1-7(b)。作为一个矢量，dS同样可分解为所采用的坐标系下的三个分量，它们恰是ds在三个坐标平面上的投影（图1-8)。以直角坐标系福为例，根据n与a，y，轴正向夹锐角或钝角，dS,dS,ds，或正C或负。这是因为n=fcusα,cosβ,cos1,故ds = ndS = IdScos α,dScos β,dScos !业ds.=idSr,ds,,ds.(2)场量A穿过面元dS的通量为图1-8直角坐标系中面元矢量 ds 的三个分量A-ds= Acos ods（3)场量A穿过开曲面S的通量为J,A-ds= J,Aos 8ds =J, A.ds + J, Ads,+A.ds.J, Ads,+J, A,ds,+ J,A.ds.J, Ads,+ J, Ads,+ J, A,ds,(1.3.1)(4)场量A穿过闭合面S的通量为(1.3.2)f, A-ds- f, Acos ods.6
一般来说，在每种坐标系下，A·dS都对应着三个沿坐标面的积分（第二型曲面积分），如(1.3.1)式所示。(1.3.2)式表示A穿出包面S的净通量。给面元设置法线如同给空间曲面规定了“正反面”，意味着矢量由反面流向正面的通量为正，反之为负。（面对面积的曲面积分一第一型曲面积分则没有正反面之分。）由于闭合面S法线正向朝外，S的外（内）侧面就是"正面"("反面"），流出（入)包面的通量就应为正（负），这是因为矢线流出（入）时6必为锐（钝)角，见图1-7(b)。以液体流速场为例,(1.3.2)式为正时,表明流出多于流入,净流量为正,因而包面 S内必有“喷泉"（正的源）。反之，（1.3.2)式为负，表明闭合面内必有漏口"（负的源也称“汇")。如果(1.3.2)式为零，则表明S内无源。这种源也被称为散度源或通量源。矢量场中规定矢线的画法是每根代表一单位的通量，因面穿过某曲面 S 的矢线越多表示通量越大。因此，若包面内有“喷泉”，则从包面内会增发出矢线；若有“漏口”,则会有矢线终止在包面内；若包面内无源，有矢线穿过时，其根数不变。另外,由上面的定义 2,若某点处 A越大,穿过dS的通量就越大，于是同样的面积dS上穿过的矢线根数就越多。故而矢线的上述规定画法使得矢线的密集程度与场 A的强度或大小(A)成正比。例1.1有一个与场点到原点的距离成正比的辐射状失量场kr(k为常数),计算它穿过个以原点为球心，半径为α的上半球面与2=0的平面构成的闭合面S的通量。a,，故“底面”上处处有A·ds-解由于“底面”z=0上的外法线n=-kra,'a,ds-0,因而只须计算半球面 S,上的通量。因为球面是kr的等值面ka,kr的方向又处处垂直于球面元而与球面元的法线n同方向，故有0A-ds=kr·ds=kudS= ka2元a?=2nka这说明球面内必有源。例1.2 已知矢量场 A=a,(e-le)+a,cos x,α为常数。有一个以轴为轴线、半径为2的单位长度的圆柱面与≥=0、2=1的平面构成的闭合面S,求A穿过S的通量。解根据(1.2.5)式,柱面元为ds。=pdsdz,故穿过圆柱侧面 S。的通量为[,dJ,Adsdddd2e穿过上底面 z=1的通量为I, A-ds-[, Aa*a.ds- [ cos rdS = -dS=-×2=-4m穿过下底面 ≥=0 的通量为[ A-ds-[, Aa, (-a)ds -..cos OdS=-[,dS= -4x故9,A-ds= [, Ads+ [, A-ds+ f, A-ds=2(e-2a -4)2. 失量场的散度通量是宏观概念、积分量，不能描述闭合面包围的体积内每一点的性质，不能确定源在 S7