2.2.2机械系统举例例]2-1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移v(t)为输出量的运动方程式。解：遵照列写微分方程的一般步骤有：KHF(t)（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力mF;(t)和粘滞阻力F(t)，均作为中间变f 量。TTTTTT（2）设系统按线性集中参数考虑且无外力作用时，系统处于平衡状态。6KV
6 2.2.2 机械系统举例 例2-1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t) 为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。 解：遵照列写微分方程的一般步 骤有： （1）确定输入量为F(t)，输出量为 y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力 Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变 量。 （2）设系统按线性集中参数考虑， 且无外力作用时，系统处于平衡状态。 K m f F(t) y(t)
（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即d"y(t)ZF = F(t)+ F,(t)+ Fr(t) = mdt?（4）写中间变量与输出量的关系式d(t)F,(t)=-F,(t) = -ky(t)dt（5）将以上辅助方程式代入原始方程，消去中间变量，得d'y(t)dy(t)= -ky(t) -+ F(t)mdt?dt（6）整理方程得标准形m d y(t) , f dy(t)=F(t)y(t)一kdt?kdtkKV
7 （3）按牛顿第二定律列写原始方程，即 F (t) ky(t) k ( ) ( ) dt dy t F t f f （5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F t dt dy t ky t f dt d y t m （6）整理方程得标准形 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 F t k y t dt dy t k f dt d y t k m ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 dt d y t F F t Fk t Ff t m （4）写中间变量与输出量的关系式
令Tm= m/k，T,=flk，则方程化为d'y(t)dy(t)T2J(t) = - F(t)+ Tmdt ?dtk2.2.3电路系统举例例2-2电阻一电感一电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以u,(t)为输入量，u.(t)为输出量的网络微分方程式。LRu.(t)u,(t)08KV
8 令Tm 2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 F t k y t dt dy t T dt d y t Tm f 2.2.3 电路系统举例 例2-2 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电 路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分 方程式。 R ur(t) C uc(t) L
解：（1）确定输入ilt)RLu.(t)量为u,(t)，输出量为uc(t)，u,(t)C中间变量为i（t)。福（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应（3）由克希霍夫定律写原始方程：di(t)+ R.i(t)+ uc(t) = ur(t)dt（4）列写中间变量与输出变量u。的关系式：i(t) = c du.(t)dt（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得9KV
9 解：（1）确定输入 量为ur(t)，输出量为uc(t)， 中间变量为i(t)。 ( ) ( ) ( ) ( ) R i t u t u t dt di t L c r （4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式: dt du t i t C c ( ) ( ) （5）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R ur(t) C uc(t) L （2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。 （3）由克希霍夫定律写原始方程： i(t)
d'u.(t)du.(t)+ RCLC+u.(t) = u, (t)dt?dt（6）整理成标准形，令Ti=L/R，T2=RC，则方程化为d'u.(t)du.(t) + u.(t) = u,(t)+ T,T,T,dt?dt2.2.4 实际物理系统线性微分方程的一般特征观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：dn-'c(t)d"c(t)dc(t)+a,c(t)....+an-1ao+adt"-1dtndtdmd"r(t)r(t)dr(t).+b+bmr(t)=bo+brm-dtm-1dtmdt10KV
10 （6）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 u t u t dt du t T dt d u t T T c r c c 2.2.4 实际物理系统线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来 描述，则方程一般具有以下形式： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 a c t dt dc t a dt d c t a dt d c t a n n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 b r t dt dr t b dt d r t b dt d r t b m m m m m m ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 u t u t dt du t RC dt d u t LC c r c c