Sp(T) sp(T), Sp(T,)3 Sp(T).于是由(3)可得s,(1)>1.号, S(T)<1,tg2从而对直线网 T有 Sp(T)- Sp(T)<e .充分性设对任给的e >0,存在某直线网T,使得Sp(T)-Sp(T)<e.但 Sp(T) Ip Ip S,(T),所以后页巡回前页
前页 后页 返回 于是由(3)可得 从而对直线网 T 有 充分性 设对任给的 存在某直线网 T, 使得 但 所以
Ip- Ip S,(T)- Sp(T)<e.由 e 的任意性,得Ip= Ip, 因而平面图形P可求面积.推论 平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外而积 Ip =0,即对任给的 e >0,存在直线网T,使得Sp(T)<e,或对任给的e >0,平面图形P能被有限个面积总和小于e的小短形所覆盖巡回前页后贡
前页 后页 返回 由 的任意性, 得 因而平面图形 P 可求面 积. 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 的外面积 即对任给的 存在直线网 T, 使得 或对任给的 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖
定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P 的边界 K 的面积为零证由定理21.1,P可求面积的充要条件是：对任给的e >0,存在直线网T,使得S,(T)- Sp(T)<e.由于Sk(T) = Sp(T)- Sp(T),所以也有S<(T)<e.由上述推论,P的边界K的面积为零.定理21.3若曲线K为定义在[a,b上的连续函数f(Xx)的图象，则曲线K的面积为零回前页后贡
前页 后页 返回 定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1,P 可求面积的充要条件是: 对任给 的 存在直线网T, 使得 由于 所以也有 由上述推论, P 的边界K 的面积 为零. 定理21.3 若曲线 K 为定义在 上的连续函数 的图象, 则曲线 K 的面积为零
证由于f(x)在闭区向[a,b] 上连续,所以它在[a,b] 上一致连续. 因而,"e >0, sd >0,当a=x,<x,<L<x, =b,max[Dx, = x, - x,-1 [i = 1,2,L ,n} <d时,可使f()在每个小 区向[Xi-1 ,X;] 上的振幅都成立 w,<b=a.即著把曲线K拉x=xg,对,L,,分b-a成 n 个小段,则每一小段都能被以 Dx,为宽,W,为高的小矩形所覆盖.由于这n个小矩形面积的总和回后贡前页
前页 后页 返回 证 由于 在闭区间 上连续, 所以它在 上一致连续. 因而, 当 ， 时, 可使 在每个小区间 上的振幅都成 高的小矩形所覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和 立 即若把曲线 K 按 分 成 n 个小段, 则每一小段都能被以 为宽, 为
A w Dr,<n-a Dx,=e,-b- a i=li=1因此由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零推论l 参量方程x=j (t),y=y (t)(a t尤b)所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积一定为零证由光滑曲线的定义，i 均存在且不固时为零由隐函数存在性定理," t, I [a,b ],xdt,) 0(或y(t) 1 0), 因此 U(t,;d),x = x(t)(或 y = y(t))在U(t.;d)上有反函数.再有限优盖定理,可把区向回后页前页
前页 后页 返回 因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零. 推论1 参量方程 所表 示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 证 由光滑曲线的定义， 均存在且不同时为零. 由隐函数存在性定理, (或 因此 (或 ) 在 上有反函数. 再由有限覆盖定理, 可把区间