循环群与生成元（续) 。例2：有限循环群 模6剩余加群亿6，⊕6》是循环群，恰有2个生成 元：1和5 50=0,51=5,52=4, 53=3,54=2,55=1
循环群与生成元（续） 6
循环群与生成元（续) 。例3：非循环群 Klein四元群(W,*)不是循环群，因为对任何 xEV,(x)=e,x}: b
循环群与生成元（续） 7
无限循环群的生成元 。命题：若a是无限循环群的生成元，则a-1也 是该无限循环群的生成元 >设群G=(a)={aka∈G,k∈Z,ak= (a-1)-k,令p=-k,则G={(a-1)Plp∈Z ,故G=(a-1〉 8
无限循环群的生成元 8
无限循环群的生成元（续） 8命题：无限循环群有且只有2个生成元 。:设群G=(a)={ak|a∈G,k∈Z,若b亦为G的 生成元，则：(3m,t∈Z)(am=bAbt=a),故 a=bt=(am)t=amt,由消去律，amt-1=e a是无限阶元.mt-1=0→(m=t=1)V (m=t=-1),故有b=a或者b=a-1 9
无限循环群的生成元（续） 9
有限循环群的生成元 ●命题：设有限群G=(a),且|a=n,则对任意不大于n的 正整数r,G=(a)台gcd(n,r)=1 。“=”:设gcd(n,r)=1,则（自u,v∈Z)(ur+vm= 1),因此a=aur+wn=(ar)u(a)”=(a)u。故而G 中任意元素ak可表为(a)k,故有G=(a); “→”：设a'是G的生成元，令gcd(n,r)=d且r= dt,则(an)t=(an)r/a=(a)n/a=e,故 la'l(n/d),但a'|=n故n川分→d=1,故有 gcd(n,r)=1即n与r互质。 0
有限循环群的生成元 10