第4章向量空间 一、n维向量 ()定义 n个有次序的数a,a,,a,所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量 的n个分量，第i个数a称为第i个分量 分量全为实数的向量称为实向量： 分量全为复数的向量称为复向量。 例如1,2,3…，n) n维实向量 1+2i,2+3i,…,n+(n+1)0） n维复向量 (2)n维向量的表示方法 n维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用a,b',a',B等 表示，如： d=(a,a2,…,an) a=1,2,-2,0,-5) B=(0,1-3,4,-8,2,7) n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用a,b,&,B等表 示，如： a a 3 a= 0 B=-4 a=(3.-2,0,62 6 1 注意 1,行向量和列向量总被看作是两个不同的向量： 2,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算：
67 第4章 向量空间 一、n 维向量 (1) 定义 n 个有次序的数 1 2 ,,, n aa a " 所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量 的n 个分量，第i 个数 i a 称为第i 个分量。 分量全为实数的向量称为实向量； 分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1,2,3, , ) " n n 维实向量 (1 2 ,2 3 , , ( 1) ) + + ++ i i nn i " n 维复向量 (2) n 维向量的表示方法 n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用 ,, , TT T T a b α β 等 表示，如： 1 2 (, , , ) T n a aa a = " (1,2, 2,0, 5) (0,1, 3,4, 8,2,7) T T a = −− = −− β n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用a b,, , α β 等表 示，如： 1 2 n a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ # 3 2 2 4 (3, 2,0,6) 0 1 6 T a a β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = =− = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；
间日 3.当没有明确说明是行向量还是列向量时，默认向量类型为列向量 (3)n维向量的加法和数乘运算规律 向量加法：交换律、结合律 数乘向量：结合律、分配律（数的分配、向量的分配） a+0=a a+(-a)=0 lxa=a 二、向量组的线性相关性 ()向量、向量组与矩阵 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。 例如矩阵A=(a)_有n个m唯列向量 aa: a. a … a a, a a 向量组2，C称为矩阵的列向量组 类似地，矩阵A=(a）又有m个m维行向量： a1a12…aw a a3 aa aaa…an a 向量组aQ…,称为矩阵A的行向量组
68 1 22 6 4 2 1 30 2 0 2 2 14 31 ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − =− + =− ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，默认向量类型为列向量. (3) n 维向量的加法和数乘运算规律 向量加法：交换律、结合律 数乘向量：结合律、分配律（数的分配、向量的分配） 0 ( )0 1 α α α α α α + = + − = × = 二、向量组的线性相关性 (1) 向量、向量组与矩阵 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。 例如 ( )m n A nm ij a × 矩阵 有 个 维列向量 = α1 α 2 α j α n 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 j n j n m m mj mn A aa a a aa a a aa a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " " " # ##### " " 1 2 , ,, . n 向量组 称为矩阵 的列向量组 α α α " A , ( )m n A mn ij a × 类似地 矩阵 又有 个 维行向量： = 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 n n i i in m m mn A aa a aa a aa a aa a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " # #"# " # #"# " 1 2 T T T i T m α α α α 向量组 1 2 , ,, TT T α α α " m 称为矩阵 A 的行向量组
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 m个维列向量所组成的向量组a,a,,a,构成一个nxm矩阵。 A=(g,42,…,a)） m个n维行向量所组成的向量组BT,E',…BT,构成一个mxn矩阵。 1 0 103 例如a340 +A=(a,2,a) 200 ,4 0 300 4 420 )123 6=0,2,3),=(2,0,0) b=(0,0,3),b=(0,4,0) B= 6 003 （040 ●线性方程组的向量表示 ax,+ak,++a水.br a2k1+a2k2+…+a2nknb2 ……………… hmk+hmk,+…+a.x.tb ↓ ak,+ak:++a.k.tb 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应。 (2)线性组合，线性表示 定义给定向量组A:4,a,…,，对于任何一组实数k,k,…,k，向量 ka+k2+…+kan称为向量组的一个线性组合，k,k,…,k称为这个线 性组合的系数。 1 0 3 0 %+2a42-34= 0 1 1 0 (a.az.a3)x=b 定义给定向量组A:a,,…,an和向量b,如果存在一组数k,k…,km: 69
69 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 1 2 ,,, , m n nm 个 维列向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 α α α " m × 。 1 2 (, , , ) A = α α α " m 1 2 ,, , TT T m n mn 个 维行向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 ββ β " m × 。 例如 123 103 200 , , 300 420 aaa ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ === ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ( ) 123 4 3 103 200 , , 300 420 A aaa × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 4 (1, 2,3), (2,0,0), (0,0,3), (0, 4,0) t t t t b b b b = = = = 1 2 3 4 123 200 003 040 t t t t b b B b b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ z 线性方程组的向量表示 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 , , . n n n n m m mn n m ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b ⎧ + ++ = ⎪ ⎪ + ++ = ⎨ ⎪ ⎪ + ++ = ⎩ " " """""""""""""" " 11 2 2 α xx x + ++ = α α " n n b 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应。 (2) 线性组合, 线性表示 定义 给定向量组 1 2 :,,, A α α α " m ，对于任何一组实数 1 2 , m kk k ， ， ，向量 " 11 2 2 m m kk k α + ++ α α " 称为向量组的一个线性组合， 1 2 , m kk k ， ， 称为这个线 " 性组合的系数。 123 110 000 , , 0 11 11 0 ααα ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ === − − ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ − 123 3 0 2 3 1 1 ααα ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +−= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 123 (, , ) α α α x = b 定义 给定向量组 1 2 :,,, A α α α " m 和向量b ，如果存在一组数 1 2 , m kk k ，， ，
使 b=ka+k42+…kan 则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示或线 性表出。 即线性方程组 a1+,g3+…+xam=b 有解。 定理n维向量B可由n维向量组a,凸，，a线性表示 一线性方程组xa,+x,a4+…+xan=B有解 白矩阵A=(a,心2，…，an)的秩等于矩阵A=(a,a2,…,a,)的秩。 向量b能由向量组A线性线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a,,,a)的秩 等于矩阵B=(a,a2,…,&,B)的秩。 (3)线性相关性的概念 定义给定向量级A=(@,a,…,an)。如果存在不全为零的数k,k…,kn,使 k4+k凸+…+kan=0,则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。 注意1.若a,4,…,a。线性无关，则只有当=…=入，=0时，才有 4+a2+…+an=0成立。 2.对于任一向量组，不是线相关就是线性无关。 3.向量组只包含一个向量a时，若a=0则说a线性相关，若a≠0， 则说α线性无关。 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的。 5.对于含有丙个向量的向量组，它线性相关的充要条件是两向量的分量 对应成比例，几何意义是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向量共面。 ·线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这是称
70 使 11 2 2 m m bk k k = α + + α α " 则向量b 是向量组 A的线性组合，这时称向量b 能由向量组 A 线性表示或线 性表出。 即线性方程组 11 2 2 m m xα + x xb α α ++ = " 有解。 定理 n 维向量β 可由n 维向量组 1 2 ,,, α α α " m 线性表示 ⇔ 线性方程组 11 2 2 m m xx x α + ++ = α αβ … 有解 ⇔ 矩阵 1 2 (, , , ) A = α α α " m 的秩等于矩阵 1 2 (, , , ,) A = α α αβ " m 的秩。 向量b 能由向量组 A线性线性表示的充分必要条件是矩阵 1 2 (, , , ) A = α α α " m 的秩 等于矩阵 1 2 (, , , ,) B = α α αβ " m 的秩。 (3) 线性相关性的概念 定义 给定向量级 1 2 (, , , ) A = α α α " m 。如果存在不全为零的数 1 2 , m kk k ， ， ，使 " 11 2 2 0 m m kk k α + ++ = α α " ，则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关。 注 意 1. 若 1 2 ,,, α α α " n 线性无关，则只有当 1 0 λ ="= = λn 时，才有 11 2 2 0 λα λα λα + ++ = " n n 成立。 2．对于任一向量组，不是线相关就是线性无关。 3．向量组只包含一个向量α 时，若α = 0 则说α 线性相关，若α ≠ 0 ， 则说α 线性无关。 4．包含零向量的任何向量组是线性相关的。 5．对于含有丙个向量的向量组，它线性相关的充要条件是两向量的分量 对应成比例，几何意义是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向量共面。 z 线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这是称
方程组（各个方程）是线性相关的：当方程组中没有多余方程，就称该方程组（各 个方程)线性无关（或线性独立）。 结论向量组A线性相关就是齐次线性方程组x%,+xa,++xan=0,即 Ax=0有非零解。其中A=(a,,…am)。 例己知 试讨论向量组a,a,a的线性相关性。 解方法】判断齐次线性方程组是否有非零解 方法2直接由向量组形成的矩阵判断该矩阵所对应的齐次方程组解的情况。 例已知向量组a,a,a线性无关，=a+a2,b,=a,+a,=a,+a，试 证b,b2,b,线性无关。 证设有x,x,x,使 xb+xb+xb,=0 即x(a+a,)+x(a+a)+x(a,+a)=0 亦即 (x+x)a+(x+x2)a2+(x+x)a3=0 因aa,a,线性无关，故有 [x+x=0, 了+x3=0, +=0. 由于此方程组的系数行列式 10 110-2≠0 011 故方程组只有零解x=x2=x=0,所以向量组，b,b线性无关。 性质若向量组在a,a,…,an线性相关，则向量组B:a,…,a,C也线性相 11
71 方程组（各个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方程，就称该方程组（各 个方程）线性无关（或线性独立）。 结论 向量组 A 线性相关就是齐次线性方程组 11 2 2 0 m m xx x α + α α ++ = " ，即 A 0 x = 有非零解。其中 1 2 (, , ) A = α α α " m 。 例 已知 12 3 102 124 157 αα α ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ == = ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，，， 试讨论向量组 123 α , , α α 的线性相关性。 解 方法 1 判断齐次线性方程组是否有非零解。 方法 2 直接由向量组形成的矩阵判断该矩阵所对应的齐次方程组解的情况。 例 已知向量组 123 α , , α α 线性无关， 112 b =α +α ， 2 23 b =α +α ， 3 31 b = + α α ，试 证 123 bbb , , 线性无关。 证 设有 123 x , , x x ，使 11 2 2 33 xb xb xb + + = 0 即 11 2 22 3 33 1 xx x （ ） α ++ ++ += α αα αα ( ) ( )0 亦即 1 31 1 2 2 2 33 （ )( )( ) 0 xx xx xx + ++ ++ = α α α 因 ， ， 线性无关，故有 α123 α α 1 3 1 2 2 3 0, 0, 0. x x x x x x ⎧ + = ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ + = 由于此方程组的系数行列式 101 110 20 011 = ≠ 故方程组只有零解 123 xxx === 0 ，所以向量组 123 bbb , , 线性无关。 性质 若向量组 1 2 ,,, A： 线性相关，则向量组 α α α " m 1 1 :,, , B α " α α m m+ 也线性相