第一章矩阵及其应用 矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象，也是数 学许多分支研究及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分在很多领域 中的一些数量关系都可以用矩阵来描述。 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算：可逆矩阵的计算：还将介绍矩阵的 初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习打下扎实的理论基础 一、矩阵的概念 1.矩阵的引出 考察线性方程组 「x-x+2%=1 2x+3x2+x3=2, x-2x2-3x=4 隐去未知量和等号，所有未知量的系数按原来位置排列成一矩阵列表 [1-121 231 1-2-3 同理，未知数的系数与常数项也可以构成一矩形表格 「1-121] 2312 1-2-34 这样的矩形数表在数学上就称为矩阵。 定义由m×n个数a,(=l,2,…,mj=l2,,)排成-个m个行n个列的矩 形数表 aia…a dd2…amJ 称为m×n矩阵或m行n列矩阵，简称矩阵。横排称为矩阵的行，纵排称为矩阵 的列，a,=12,…,mj=1,2,…,m)称为矩阵的第i行第j列元或(，)元
4 第一章 矩阵及其应用 矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象，也是数 学许多分支研究及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分.在很多领域 中的一些数量关系都可以用矩阵来描述。 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算；可逆矩阵的计算；还将介绍矩阵的 初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习打下扎实的理论基础 一、 矩阵的概念 1. 矩阵的引出 考察线性方程组 12 3 1 23 123 2 1, 2 3 2, 2 3 4. xx x x xx xxx ⎧ − + = ⎪ ⎨ + + = ⎪ ⎩ − − = 隐去未知量和等号，所有未知量的系数按原来位置排列成一矩阵列表 1 12 23 1 123 ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎣ ⎦ 同理，未知数的系数与常数项也可以构成一矩形表格 1 121 23 12 1 2 34 ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎣ ⎦ 这样的矩形数表在数学上就称为矩阵。 定义 由 m×n 个数 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i mj n = = " " 排成一个 m 个行 n 个列的矩 形数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn aa a aa a aa a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " ## # " 称为m n × 矩阵或 m 行 n 列矩阵，简称矩阵。横排称为矩阵的行，纵排称为矩阵 的列， ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i mj n = = " " 称为矩阵的第 i 行第 j 列元或( ) i j , 元
表示法： ①A、B、C、E:等： ②AmXn,B,灯等： ③A=a时或A=amn等。 2.几种特殊的矩阵 )同型矩阵：行数相等且列数相等的两个矩阵。 12)143 例如：56与84为同型矩阵。 3739 2)相等矩阵：若两个矩阵A=(a,)与B=(b,)为同型矩阵，并且对应元素相等 即a=b（i=1,2,…,mj=1,2,…,n）,记作A=B。 例设 G》- 己知A=B,求x八： 解：A=B∴x=2,y=3.=2 3)方阵：行数与列数都等于n的矩阵A 「aiaa…am 4)上、下三角矩阵 「aa…aml「a0… 0 A= 0 00…am」 主对角线、次对角线 5)对角矩阵
5 表示法： ① A、B、C、E；等； ② A m×n， B s ×r 等； ③ A=(aij) 或 A=(aij) m×n 等。 2. 几种特殊的矩阵 1) 同型矩阵：行数相等且列数相等的两个矩阵。 例如： 1 2 14 3 56 8 4 37 3 9 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 与 为同型矩阵。 2) 相等矩阵：若两个矩阵 A = = (a Bb ij ij )与 为同型矩阵 ( ) ,并且对应元素相等, 即a b i mj n ij ij == = ( 1, 2, , ; 1, 2, , " " )，记作 A B = 。 例 设 123 1 3 , , 312 1 x A B y z ⎛⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ 已知 求 A = B xyz , , ,. 解：∵ A B = , ∴xyz = == 2, 3, 2. 3) 方阵：行数与列数都等于n 的矩阵 A 11 12 1 12 22 2 1 2 . n n n n nn aa a aa a aa a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " ## # " A 4) 上、下三角矩阵 11 12 1 11 22 2 21 22 1 2 0 0 0 0 , , 0 0 n n nn n n nn aa a a a a aa a aa a ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = = ⎣ ⎦⎣ ⎦ " " " " ## # ## # " " A A 主对角线、次对角线 5) 对角矩阵
00…n 6)单位矩阵 「10…0 01.0 E=:.: 00.1 7刀行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵。A=(a,a2…,a) 8)列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵。 b Lbn1J 9)零矩阵：元素全为零的矩阵。 [00…0 0= 00…0 00…0 注意：不同阶数的零矩阵是不同的 矩阵的重要性在于它可以把一个实际问题变成一个数值表，使得我们可以通 过研究数值表的规律和特性来解决实际问题！ 例四个城市间的单向航线如下图所示 ① ④ ② 若令 - 则图中的航线用矩阵表示为 6
6 1 2 0 0 0 0 . 0 0 n λ λ λ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " # #%# " Λ 6) 单位矩阵 10 0 01 0 . 00 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " # #%# " E 7) 行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵。 11 12 1 ( , , , ). n A = aa a " 8) 列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵。 11 21 1 . m b b b ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ # B 9) 零矩阵：元素全为零的矩阵。 00 0 00 0 . 00 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " # #%# " O 注意：不同阶数的零矩阵是不同的. 矩阵的重要性在于它可以把一个实际问题变成一个数值表，使得我们可以通 过研究数值表的规律和特性来解决实际问题！ 例 四个城市间的单向航线如下图所示 1 3 4 2 若令 从 i 市到 j 市有一条单向航线； 从 i 市到 j 市没有单向航线。 则图中的航线用矩阵表示为 1 0 ij a ⎧ = ⎨ ⎩
「0111 1000 0100 1010 例线性变换：设个变量x,x,…,x,与m个变量，乃，…，y之间的关系式为 y1=a,x1+a,x,+…+aXn =42+a25+…+42nx 其中a,为常数 这个关系称为从变量x,x,…,x,到变量yy,…,y的线性变换 a1a2…an ………… 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。 若线性变换为 =x 2= y=x 称之为恒等变换 10… 0 。对应 01.0 单位矩阵 …… 001 二、矩阵的计算 1.矩阵的加法 1)定义 7
7 0111 1000 . 0100 1010 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 例 线性变换： 12 12 ,,, ,,, n m 设 个变量 与 个变量 之 间的关系式为 n xx x m yy y " " 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 11 2 2 , , . n n n n m m m mn n y ax ax ax y ax ax ax y ax ax ax ⎧ = + ++ ⎪ ⎪ = + ++ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = + ++ " " """"""""" " . ij 其中 为常数 a 这个关系称为 12 12 ,,, ,,, n m 从变量 到变量 的线性变换 x x x yy y " " 。 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn aa a aa a A aa a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " " """ " 系数矩阵 若线性变换为 1 1 2 2 , , n n y x y x y x ⎧ = ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ = """ 称之为恒等变换。 1 1 2 2 , , n n y x y x y x ⎧ = ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = """ 10 0 01 0 00 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " """" " 单位矩阵。 二、 矩阵的计算 1. 矩阵的加法 1) 定义 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。 对 应
定义两个m×n矩阵A=(a,),B=(,),那末矩阵A与B的和记作A+B, 规定为 A+B=(ag+by)wn （a1+b,a2+b2…an+bn a1+bn1an2+bn2…anm+b 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 123-5)189 例计算1-90+654 (368321 123-5)(18912+13+8-5+913I14 解1-90+654=1+6-9+50+4=7-44 3683213+3 6+2 8+1689 2)矩阵加法的运算规律 (1)4+B=B+A: (2)(A+B)+C=A+(B+C) (3)-A= -a1-a…-a =（-a,),称为矩阵的负矩阵。 -am-a2…-am (4)A+(-A)=0,A-B=A+(-B)。 2.矩阵的数乘 1)定义 定义数与矩阵的乘积，记作24或A1,规定为 aae…a 元A=A1= iaia2… … ……… dm Ad2…iam
8 定义 两个m n × 矩阵 ( ), A ij = a ( ), B ij = b 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A+B， 规定为 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 11 2 2 ( ) . ij ij m n n n n n m m m m mn mn AB a b ab ab ab ab ab ab abab ab += + × ⎛ ⎞ ++ + ⎜ ⎟ ++ + = ⎝ ⎠ ++ + " " " """ " 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 例 计算 12 3 5 1 8 9 1 9 0 654 3 6 8 321 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 解 12 3 5 1 8 9 1 9 0 654 3 6 8 321 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 12 1 3 8 5 9 16 95 04 33 6 2 81 ⎛ ⎞ + + −+ ⎜ ⎟ = + −+ + ⎝ ⎠ ++ + 13 11 4 7 44 6 89 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2) 矩阵加法的运算规律 ( ) 1 ; A+=+ BBA ( )( ) ( ) 2 . A+ +=+ + B C A BC ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 3 n n m m mn aa a aa a A aa a ⎛ ⎞ −− − ⎜ ⎟ −− − − = ⎝ ⎠ −− − " " " """ " ( ), ij = −a 称为矩阵 的负矩阵。 A () ( ) 4 0, A+− = − = +− A AB A B ( )。 2. 矩阵的数乘 1) 定义 定义 数λ与矩阵的乘积,记作λA 或 Aλ，规定为 11 12 1 21 22 2 1 2 . n n m m mn aa a aa a A A aa a λλ λ λλ λ λ λ λλ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ " " " """