四、含参量正常积分的可积性 由定理19.1与定理19.2推得： 定理19.5(I(x)的可积性)若f(x,y)在矩形区域 R=Ia,b]×[c,上连续，则I(x)与Jx)分别在a,b] 和[c,d上可积. 这就是说：在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个 求积顺序不同的积分： fx地与fxe. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 四、含参量正常积分的可积性 由定理19.1与定理19.2推得: 定理19.5 ( I x( )的可积性 ) 若 f x y ( , ) 在矩形区域 R a b c d [ , ] [ , ] 上连续,则 I (x)与 J (x)分别在 [ , ] a b 和 [ , ] c d 上可积. 这就是说: 在 f x y ( , ) 连续性假设下, 同时存在两个 求积顺序不同的积分: ( , )d d b d a c f x y y x ( , )d d . d b c a 与 f x y x y
为书写简便起见，今后将上述两个积分写作 ∫dfx,yd与yfx,dr. 前者表示f(x,)先对y求积然后对x求积，后者则 表示求积顺序相反.它们统称为累次积分 在∫(x,y)连续性假设下，累次积分与求积顺序无关， 定理19.6若f(x,y)在矩形区域R=[a,b×[c,d上 连续，则 d[f(x,y-dr[fyd. (8) 前页 后页 返回
前页 后页 返回 为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作 d ( , )d b d a c x f x y y d ( , )d . d b c a 与 y f x y x 前者表示 f x y ( , ) 先对 y 求积然后对 x 求积, 后者则 表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分. 在 f x y ( , ) 连续性假设下,累次积分与求积顺序无关. 定理19.6 若 f x y ( , ) 在矩形区域 R a b c d [ , ] [ , ] 上 连续, 则 d ( , )d d ( , )d . (8) b d d b a c c a x f x y y y f x y x
证记 I(u)=dx[f(x.y)dy,I.(u)=dy"f(x,y)dx, 其中u∈[a,b],现在分别求I1(W与I(w)的导数 a四广aw. 对于1，ω)，令H(uy)=∫f(x,y)dc,则有 L(u)=[H(u,y)dy. 因为H(u,y)与H(山，y)=f(u,y)都在R上连续，由 前页 返
前页 后页 返回 1 ( ) d ( , )d , u d a c I u x f x y y 2 ( ) d ( , )d , d u c a I u y f x y x 证 记 1 d ( ) ( )d ( ) . d u a I u I x x I u u 1 2 其中 u a b I u I u [ , ] , ( ) ( ) 现在分别求 与 的导数. 2 ( ) ( , )d . d c I u H u y y 2 ( ) , ( , ) ( , )d , u a I u H u y f x y x 对于 令 则有 因为 H u y ( , ) 与 H u y f u y u ( , ) ( , ) 都在R上连续, 由
定理19.3， gu='u,aH.a =["f(u,y)dy=I(u). 故得1(w=I(四，因此对一切u∈[a,b],有 I1(四=I(四)+k(k为常数). 当u=a时，I1(a)=I,(a=0,于是k=0,即得 I(w)=I2(u),u∈[a,bl. 取u=b就得到所要证明的(8)式. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1 2 I u I u k k ( ) ( ) ( ) . 为常数 2 d ( ) ( , )d ( , )d d d d u c c I u H u y y H u y y u ( , )d ( ) . d c f u y y I u 定理19.3, 1 2 故得 I u I u ( ) ( ) , 因此对一切 u a b [ , ] , 有 1 2 I u I u u a b ( ) ( ) , [ , ] . 当 时, 1 2 u a I a I a k ( ) ( ) 0 , 0, 于是 即得 取 u b 就得到所要证明的(8)式
五、例题 例1求 dx 1+x2+a2 解起a-1由+al+a以及 1+r+口都是a和x的连续函数，由定理19.2已知 1 I(0在a=0处连续，所以 o=0=-子 →0 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1 2 2 d ( ) . 1 a a x I a x a 解 记 由于 a a ,1 以及 五、例 题 例1 求 1 2 2 0 d lim . 1 a a a x x a 2 2 1 1 x a 都是 a 和 x 的连续函数, 由定理19.2 已知 1 2 0 0 d π lim ( ) (0) . a 1 4 x I a I x I (a) 在 a 0 处连续, 所以