证对于[a,b]内任意一点x,设x+△x∈[a,b](若x为 区间的端点，则讨论单侧函数)，则 ÷-了- △x △x。 由微分学的拉格朗日中值定理及f(x,y)在有界闭 域R上连续（从而一致连续），对Vε>0,36>0，只要 △x<6时，就有 fx+△x,)-fx,n-f(x,y) 前页 后页 返回
前页 后页 返回 证 对于 [ , ] a b 内任意一点x, 设 x x a b [ , ] (若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则 ( ) ( ) ( , ) ( , )d . d c I x x I x f x x y f x y y x x 由微分学的拉格朗日中值定理及 ( , ) x f x y 在有界闭 域 R上连续(从而一致连续),对 0 , 0, 只要 x 时， 就有 ( , ) ( , ) ( , ) x f x x y f x y f x y x
=f:(x+x,y)-f(x,y)<e, 其中0∈(0,1).因此 0x af》- ≤e(d-c). 这就证明了对一切x∈[a,b],有 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 ( , ) ( , ) , x x f x x y f x y 其中 因此 (0,1). ( , )d d x c I f x y y x ( , ) ( , ) ( , ) d d x c f x x y f x y f x y y x ( ) . d c 这就证明了对一切 x a b [ , ] , 有
)-f.海 定理19.4(F(x)的可微性)设f(x,y),f(x,y)在 R=[a,b]×[p,ql上连续，cx),dx)为定义在[a,b]上 其值含于[p,q内的可微函数，则函数 F)d 在[，b]上可微，且 Fd+fd()d'() -f(x,c(x)c'(x). (7) 前页 后页 返
前页 后页 返回 R a b p q [ , ] [ , ] 上连续, c(x), d(x)为定义在 [ , ] a b 上 d ( ) ( , )d . d d x c I x f x y y x F x( ) ( , ), ( , ) x 定理19.4 ( 的可微性) 设 f x y f x y 在 其值含于[ p, q]内的可微函数, 则函数 ( ) ( ) ( ) ( , )d d x c x F x f x y y 在 [ , ] a b 上可微, 且 ( ) ( ) ( ) ( , )d ( , ( )) ( ) d x x c x F x f x y y f x d x d x f x c x c x ( , ( )) ( ) . (7)
证把Fx)看作复合函数： F(x)=H(x,c,d)=f(x,y)dy, c=c(x),d=d(x). 由复合函数求导法则及变动上限积分的性质，有 d F)o deH dd dx a :dc dx od dx -(x.yd+f.dd) -f(x,c(x)c'(x). 前页 后页 返回
前页 后页 返回 证 把 F(x) 看作复合函数: ( ) ( , , ) ( , )d , d c F x H x c d f x y y c c x d d x ( ) , ( ) . 由复合函数求导法则及变动上限积分的性质, 有 d d d ( ) d d d H H c H d F x x x c x d x ( ) ( ) ( , )d ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) . d x x c x f x y y f x d x d x f x c x c x
注由于可微性也是局部性质，定理19.3中条件f与 f,在[a,b×[c,d上连续可改为在×[c,d上连续， 其中3为任意区间. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 注 由于可微性也是局部性质, 定理19.3 中条件 f 与 [ , ] [ , ] [ , ] , x f a b c d c d 在 上连续可改为在 上连续 其中 为任意区间