即5 2 这就证明了f(x)在(a,b)内是上凸的 同理可证（1) 注定理的结论可推广到任意区间上 例1判断曲线y=x3的凹凸性 解y'=3x2,y"=6x, 当x<0时，y"<0, -0.1 ∴.曲线在(-o,0为凸的； -0.2 03 当x>0时，y”>0,∴曲线在[0，+o)为凹的； 注意到，点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
2 ( ) ( ) 2 1 2 1 x2 x x f x f f + + 即 这就证明了 f (x)在(a,b)内是上凸的 同理可证（1） 注 定理的结论可推广到任意区间上 例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时， y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
三、曲线的拐点及其求法 1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 注意：拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。 2.拐点的求法 定理2如果f(x)在(x。一6，x+6)内存在二阶导 数，则点(x,f()是拐点的必要条件是f"(x)=0. 证f(x)二阶可导，∴.f'(x)存在且连续
三、曲线的拐点及其求法 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数,则点( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必要条件是 ( 0 ) 0 " f x = . 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 f (x) 二阶可导, f (x) 存在且连续