约化密度矩阵>由约化密度矩阵理解复合体系A+B的期望值。对于算符O，求它在B系统中的期望值有(Q) = TrB(PB Q) with PB = TrA(PAB)其中A系统对应粒子1，B系统对应粒子2。下面计算复合体系总自旋为零的态对应的约化密度矩阵pB和pBn。考虑下面的两个态1[12】：(/↑)1//)2 — [/)1/↑)2)V21(I+>1/-)2 一 [-)1/+)2)Φ12)2其中{±)=(I↑)±))
7 约化密度矩阵 ➢ 由约化密度矩阵理解复合体系A+B的期望值。对于算符𝑄，求它 在B系统中的期望值有 𝑄 = TrB 𝜌ො𝐵 𝑄 with 𝜌ො𝐵 = TrA(𝜌ොAB) 其中A系统对应粒子1，B系统对应粒子2。下面计算复合体系总自旋 为零的态对应的约化密度矩阵 𝜌ොBI和𝜌ොBΠ。考虑下面的两个态 𝜓12 = 1 2 ↑ 1 ↓ 2 − ↓ 1 ↑ 2 𝜙12 = 1 2 + 1 − 2 − − 1 + 2 其中 ± = 1 2 ↑ ± ↓
（自己算一个）>对应的复合体系密度矩阵为=[山12《山12l,P = |Φ12Φ12l则PBI = TrA(pr)= (pi/) + (pi/)1=1(1212/↑)1+ 1(1212//)1(II)22(/ + I)22(↑I)1)9), I1)=(h)其中：I)=(8
8 ➢ 对应的复合体系密度矩阵为 （自己算一个） 𝜌ොI = 𝜓12 𝜓12 , 𝜌ොΠ = 𝜙12 𝜙12 则 𝜌ොBI = TrA 𝜌ොI = 1 ↑ 𝜌ොI ↑ 1 + 1 ↓ 𝜌ොI ↓ 1 = 1 ↑ 𝜓12⟩⟨𝜓12 ↑ 1 + 1 ↓ 𝜓12⟩⟨𝜓12 ↓ 1 = 1 2 ↓ 22 ↓ + ↑ 22 ↑ = 1 2 1 0 0 1 其中： ↓ = 0 1 ， ↑ = 1 0
PBI = TrA(P)= 1(+Ip/+)1 + 1(-Ipμ/-)1= 1(+/Φ12)Φ12/+)1 + 1(-|Φ12)12/-)1(I-)22(-/ + I+)22(+D)01.2(01PBI=PB说明量子力学内在自洽性9
9 𝜌ොBΠ = TrA 𝜌ොΠ = 1 + 𝜌ොΠ + 1 + 1 − 𝜌ොΠ − 1 = 1 + 𝜙12⟩⟨𝜙12 + 1 + 1 − 𝜙12⟩⟨𝜙12 − 1 = 1 2 ( − 22 − + + 22 + ) = 1 2 1 0 0 1 𝜌ො𝐵𝐼 = 𝜌ො𝐵𝛱说明量子力学内在自洽性
二、纠缠态Entangledstate（两体或以上）纠缠态的定义考虑由单体系统A和系统B组成的两体系统，系统A、B各自有一套力学量完全集CnIn)A， B→[v)B,l)B=Culv)BA→ [n)A,[)A =n2>若两体系统的波函数（或者密度矩阵）不能够写成两个单体系统的波函数（或者密度矩阵）的直积形式，即)AB l)A I)BOrPAB PA PB则I山）AB(或者PAB)对应的量子态称为两体系统的纠缠态>上述纠缠态的定义可以扩展到多体系统10
10 二、纠缠态 Entangled state（两体或以上） 纠缠态的定义 ➢ 考虑由单体系统A和系统B组成的两体系统，系统A、B各自 有一套力学量完全集 A → 𝑛 𝐴, 𝜓 𝐴 = 𝑛 𝐶𝑛 𝑛 𝐴 ， B → 𝜈 𝐵, 𝜓 𝐵 = 𝜈 𝐶𝜈 𝜈 𝐵 ➢ 若两体系统的波函数（或者密度矩阵）不能够写成两个单体 系统的波函数（或者密度矩阵）的直积形式，即 𝜓 𝐴𝐵 ≠ 𝜓 𝐴 ⊗ 𝜓 𝐵 or 𝜌ො𝐴𝐵 ≠ 𝜌ො𝐴 ⊗ 𝜌ො𝐵 则 𝜓 𝐴𝐵(或者𝜌ො𝐴𝐵)对应的量子态称为两体系统的纠缠态 ➢ 上述纠缠态的定义可以扩展到多体系统
纠缠态的例子>以自旋为1/2的粒子为例，粒子A自旋向上态为|↑)A，自旋向下态为!)A；粒子B自旋向上态为|↑)B，自旋向下态为|I)B>A粒子和B粒子构成两体系统有下列四个纠缠态：(I/T)AII)B± (\)AIT)B)V2AF1(IT)AIT)B ±(\)AI/)B)2T这四个纠缠态被称为Bell基也被称为EPR态，EPR对11
11 纠缠态的例子 ➢ 以自旋为1/2的粒子为例，粒子A自旋向上态为 ↑ 𝐴，自旋向 下态为 ↓ 𝐴；粒子B自旋向上态为 ↑ 𝐵，自旋向下态为 ↓ 𝐵 ➢ A粒子和B粒子构成两体系统有下列四个纠缠态： 𝜓 ± 𝐴𝐵 = 1 2 ↑ 𝐴 ↓ 𝐵 ± ↓ 𝐴 ↑ 𝐵 𝜙 ± 𝐴𝐵 = 1 2 ↑ 𝐴 ↑ 𝐵 ± ↓ 𝐴 ↓ 𝐵 ➢ 这四个纠缠态被称为Bell基 也被称为EPR态、EPR对