旁义通大学 网络教育资源建设工程 信号与系统 这表明:x(m)的Z变换就等于对x(n)-做DTFT 因此,z变换是对DTFT的推广 当z=e即r=1时,Z变换就成为离散时间傅 立叶变换,故:DTFT是Z变换的特例。 由于r=12=e在乙平面上是单位圆,因此也 可以说:DTFT是在单位圆上所做的Z变换。 所以,乙变换是离散时间傅立叶变换的推广,它 的适用范围更广,收敛性更强。 第七章:乙变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第七章：Z变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 这表明： 的 Z 变换就等于对 做DTFT。 因此，Z 变换是对DTFT的推广。 x n( ) ( ) n x n r − j z e 当 = 即 时， Z变换就成为离散时间傅 立叶变换，故：DTFT是 Z 变换的特例。 r =1 由于 在Z平面上是单位圆，因此也 可以说：DTFT是在单位圆上所做的 Z 变换。 1, j r z e = = 所以，Z变换是离散时间傅立叶变换的推广，它 的适用范围更广，收敛性更强
旁义通大学 网络教育资源建设工程 信号与系统 z变换与拉氏变换的关系: 设x(n是对连续时间信号x2()理想采样后而得到 的序列。 ()=∑xn(m)5(-m7)x()=x2(m7) 对xn()做拉氏变换有: X Xn(s)=∑x(m7)km p(t) ∑ d(t-nT) 对x(m做z变换有:X()=∑x(m7)=n 1= 第七章:乙变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第七章：Z变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 三．Z 变换与拉氏变换的关系： x (t) x (nT) (t nT) n p = a − =− x(n) x (nT) = a 设 是对连续时间信号 理想采样后而得到 的序列。 x (t) a x n( ) x (t) 对 p 做拉氏变换有： snT n p a X s x nT e − =− ( ) = ( ) x (t) a x (t) p =− = − n p(t) (t nT) 对 做 z 变换有： n n a X z x nT z − =− x n( ) ( ) = ( )
旁义通大学 网络教育资源建设工程 信号与系统 X(z)=X2(s) 这表明:采样信号的拉氏变换与采样所得序列的z 变换之间,本质上是一种映射关系。即通过z=es7 将s平面上的,(s)映射成z平面上(=) 由z=e,s=σ+j,将Z改写为z=re, ∴r=e01,O=9T 显然a<0,r<1;σ>0,r>1;σ=0,r=1 元 一≤0=1,T O=0 0 T 第七章:乙变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第七章：Z变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 = X z X s ( ) ( ) z e= sT p 这表明：采样信号的拉氏变换与采样所得序列的z 变换之间，本质上是一种映射关系。即通过 将s平面上的 映射成 z 平面上的 。 sT z = e X (s) p X z( ) , T r e T = = 显然 = = 0, 1; 0, 1; 0, 1 r r r sT z e = j z re 由 ， s j = + ，将 Z 改写为 = ， − , T T − = 0, = 0
旁义通大学 网络教育资源建设工程 信号与系统 此映射关系如图所示: T Re 四.z变换与DFT的关系: 如果x(m)是有限长序列,长度为N,则其Z变换为: N X()=∑x(mn)=对X()在单位圆上采样可得 n=0 第七章:乙变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第七章：Z变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 四. Z 变换与DFT的关系： x(n) j T j j T − 1 Re jIm sT z e = 如果 是有限长序列，长度为N，则其Z变换为： − = − = 1 0 ( ) ( ) N n n X z x n z x n( ) 此映射关系如图所示： 对X z( ) 在单位圆上采样可得：
旁义通大学 网络教育资源建设工程 信号与系统 2丌 X()m=∑x(n)eN=∑x(m)W 对x(n)做N点DFT有: X(k)=∑x(n)W∷X(k)=X(z) k k 这表明:有限长序列的DFT就是对该序列的z变换 2丌 在单位圆上以为间隔采样所得的样本。这是必然的 因为在单位圆上的z变换就是DTFT,也就是粕频 谱。对z变换在单位圆上均匀采样,就是对信号的频 谱采样,这就是DFT与频域采样的关系。 第七章:乙变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第七章：Z变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 − = − = − = − = = 1 0 1 0 2 ( ) ( ) ( ) N n kn N N n kn N j X z z W k x n e x n W N 对 x(n) 做N点DFT有： − = = 1 0 ( ) ( ) N n kn n WN X k x k N j k N z W e X k X z 2 ( ) ( ) = = = − 这表明：有限长序列的DFT就是对该序列的 z 变换 在单位圆上以 为间隔采样所得的样本。这是必然的。 因为在单位圆上的z变换就是DTFT，也就是 的频 谱。对 z 变换在单位圆上均匀采样，就是对信号 的频 谱采样，这就是DFT与频域采样的关系。 2 N x n( )