定理全导数公式 设函数u=f(V12…Vn),V=9(x)(i=1…,m)可复合为 l=f(q(x)…n(x) 若(x)在点x处可微函数f(v…,Vn)在相应于x的点 (v1…Vn)处可微,则复合函数l=f(q(x)…qn(x)在点x处 可偏导,且 du四oudv x现在证明定理
定理(全导数公式) ( , , ), ( ) ( 1, , ) 设函数 u = f v1 vm vi =i x i = m 可复合为 ( ( ), , ( )). 1 u f x x = m 若 i (x)在点x处可微, 函数 f (v1 , ,vm )在相应于x的点 (v1 , ,vm )处可微, 则复合函数u = f (1 (x), , m (x)) 在点x处 可偏导, 且 = = m i i i x v v u x u 1 . d d d d 现在证明定理
证给x以增量△x,相应地有 △v=q1(x+△x)-q1(x)(=1,…,m) 由=(小∴…)的可微性有 △ ∑△n+o(△Av1D 从而Aa△v,o(Av △x Ov.△ xX 由一元函数导数导定义取△x→0的极限: △ du △ d O(I Av D0? dx △xdx △x
v (x x) (x) i =i + −i (i =1, , m) 由 ( , , ) 1 m u = f v v 的可微性, 有 o(|| ||) 1 v v v u u m i i i + == 从而 x v x v v u x u m i i i + = = o(|| ||) 1 由一元函数导数导定义, 取 x → 0 的极限: x u x u d d → x v x vi i d d → 0 o(|| ||) → ？ x v 证 给 x 以增量 x , 相应地有