例设 x= asin t,y= b cos t,求 d t 解 z=x'y=(asin t)(b cost)=a'b sin*2t 故 a2b2.2 sin 2t cos 2t. 2 d t 4 == b sin 4t 下面看另一种解法
. d d , sin , cos , 2 2 t z 设 z = x y x = a t y = b t 求 z x y a t b t a b sin 2t 4 1 ( sin ) ( cos ) 2 2 2 2 2 2 2 = = = 2sin 2 cos 2 2 4 1 d d 2 2 = a b t t t z 故 a b sin 4t 2 1 2 2 = 下面看另一种解法. 例 解
例设 x= asin t,y= b cos t,求 dt 你能由此猜想到多 解 d z az dx az d 元函数的复合函数求号 dt ax dt oy dt 法则吗? 2xy acost+2x y ( bsint -ab sin 4t
. d d , sin , cos , 2 2 t z 例 设 z = x y x = a t y = b t 求 解 t y y z t x x z t z d d d d d d + = 2 cos 2 ( sin ) 2 2 = x y a t + x y −b t a b sin 4t 2 1 2 2 = 你能由此猜想到多 元函数的复合函数求导 法则吗 ？ z x y + t
将例中的情形进行般性的描述 设z=f(x,y)2x=x(t),y=y(t)均可导 X dz azdx, azd y dt ax dt ddt 由此可推至一般的情况 二=f(x12x2),x1=x1(t),x2=x2()2 dz az dx. az dx S az dx dt ax, dt ax, dt ax. dt
z x y t t y y z t x x z t z d d d d d d + = ( , ), ( ), ( ), 1 2 1 1 2 2 z = f x x x = x t x = x t t x x z t x x z t z d d d d d d 2 2 1 1 + = = = 2 1 d d i i i t x x z 设 z = f (x, y), x = x(t), y = y(t) 均可导. 将例中的情形进行一般性的描述 由此可推至一般的情况
定理全导数公式 设函数u=f(V12…Vn),V=9(x)(i=1…,m)可复合为 l=f(q(x)…n(x) 若(x)在点x处可微函数f(v…,Vn)在相应于x的点 (v1…Vn)处可微,则复合函数l=f(q(x)…qn(x)在点x处 可偏导,且 du
定理(全导数公式) ( , , ), ( ) ( 1, , ) 设函数 u = f v1 vm vi =i x i = m 可复合为 ( ( ), , ( )). 1 u f x x = m 若 i (x)在点x处可微, 函数 f (v1 , ,vm )在相应于x的点 (v1 , ,vm )处可微, 则复合函数u = f (1 (x), , m (x)) 在点x处 可偏导, 且 = = m i i i x v v u x u 1 . d d d d
全导教公式图示 dd 如、Oudv ∑ x =l av, dx
= = m i i i x v v u x u 1 d d d d u x 1 v m v 2 v i v + 全导数公式图示