矩阵的幂级数 举例 判断矩阵幂级数 k(18 k=06′ 的敛散性 解:令 eig(a) ans 0.8333 0.5000 p(A)=0.8333×1 k 由于幂级数∑k的收敛半径为=1 绝对收敛 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲6
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-6 矩阵的幂级数 – 举例 判断矩阵幂级数 的敛散性 解：令 >> eig(A) ans = 0.8333 -0.5000 由于幂级数 的收敛半径为r = 1 绝对收敛 0 1 8 6 2 1 k k k k = − − 1 1 8 6 2 1 A − = − ( ) 0.8333 1 A = 0 k k kz = 0 1 8 6 2 1 k k k k = − −
矩阵的幂级数 Neumann级数收敛充要条件 设A∈Cm,称矩阵幂级数∑。4为 Neumann级数 ∑≌04收敛 p(A)<1 并且在此级数收敛时,其和为(-A) 证明: 充分性:p(4)<1 ∑≌4收敛 幂级数∑k的收敛半径为1 必要性:若矩阵幂级数 k=0 收敛,记 ∑ ,则limS"=S n→00 lim A"=lim(s-s)=lim S-limS=0 n→00 n→0 n→)0 n→)00 收敛矩阵的充要条件 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9计7
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-7 矩阵的幂级数 – Neumann级数收敛充要条件 设 ，称矩阵幂级数 为Neumann级数 收敛 并且在此级数收敛时，其和为 证明： 充分性： 幂级数 的收敛半径为1 必要性：若矩阵幂级数 收敛，记 ， ，则 n n A C 0 k k A = 0 k k A = ( ) 1 A ( ) 1 A 0 k k kz = 0 k k A = 收敛 0 k k S A = = ( ) 0 n n k k S A = = ( ) lim n n S S → = 0 k k A = ( ) ( 1) ( ) ( 1) lim lim( ) lim lim n n n n n n n n n A S S S S − − → → → → = − = − = 0 ( ) 1 A 1 ( ) I A − − 收敛矩阵的充要条件
矩阵的幂级数 当∑4收敛时,m(4)<1 0<1-D(A)=E 取0<E<E p(4)+E<1 彐:Cm→Rt 4≤p(A)+E<1→1-A可逆 由于S"(I-A)=1+4+A+…+A A-A n+1 A是收敛矩阵lmA=0 S=lim S=(I-A) n→0 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲8
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-8 矩阵的幂级数 当 收敛时， 取 可逆 由于 0 k k A = ( ) 1 A 0 1 ( ) − = A 0 ( ) 1 A + : n n C R + → A A + ( ) 1 I A − ( ) 2 ( ) n n S I A I A A A − = + + + + 2 1 n n A A A A + − − − − − n 1 I A + = − ( ) 1 1 1 ( ) ( ) n n S I A A I A − + − = − − − ( ) 1 lim ( ) n n S S I A − → = = − A是收敛矩阵 lim n n A → = 0
矩阵的幂级数 举例 设 0.20.10.2 A=0.50.50.4 0.10.30.2 判断矩阵幂级数∑A的敛散性,若收敛,求其和 解:norm(A,1) ans=0.9000 即4=09<1,所以∑4绝对收敛 nv(eye(size (A))-A) ans 2.00001.00001.0000 3.14294.42863.0000 1.4286178572.5000 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲9
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-9 矩阵的幂级数 – 举例 设 判断矩阵幂级数 的敛散性，若收敛，求其和 解：norm(A,1) ans = 0.9000 即 ，所以 绝对收敛 inv(eye(size(A))-A) ans = 2.0000 1.0000 1.0000 3.1429 4.4286 3.0000 1.4286 1.7857 2.5000 0.2 0.1 0.2 0.5 0.5 0.4 0.1 0.3 0.2 A = 0 k k A = 1 A = 0.9 1 0 k k A = 0 k k A = =
矩阵函数 定义: 矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数∑AaA ∑a收敛于个唯一的矩阵,即此阵幂级数的和S。这样,矩 阵幂级数在矩阵Cm与C之间建立了一个映射 f:C""→C" n×n 称此映射为矩阵函数,它是以矩阵为变量(更为确切地,以方阵为变 量)且取值为矩阵(方阵)的一类函数 称S为4在映射下的象,记作S=f(A) e(r=+∞ k=0 (1-z)(r=1) k=0 Sinz(r=+∞) (2k+1) (1-2k=coSz (r=+ k+1 ln(1+z)(r=1) 0(2k) k=0k+1 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9-10
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-10 矩阵函数 – 定义： 矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数 。 收敛于一个唯一的矩阵，即此矩阵幂级数的和S。这样，矩 阵幂级数在矩阵 与 之间建立了一个映射： 称此映射为矩阵函数，它是以矩阵为变量（更为确切地，以方阵为变 量）且取值为矩阵（方阵）的一类函数。 称S为A在映射f下的象，记作： : n n n n f C C → 0 k k k a A = 0 k k k a A = S f A = ( ) n n C n n C 0 ( ) ! k z k z e r k = = = + 2 1 0 ( 1) sin ( ) (2 1)! k k k z z r k + = − = = + + 2 0 ( 1) cos ( ) (2 )! k k k z z r k = − = = + 1 0 (1 ) ( 1) k k z z r − = = − = 1 0 ( 1) ln(1 ) ( 1) 1 k k k z z r k + = − = + = +