只需取N=10,即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义:设{n}是一个数列,a是一个确定的常数,若对任给的正数ε, 总存在某一自然数N,使得当n>N时,都有 称数列{n}收敛于a,a为它的极限。记作 iman=a{(或an→a,(m→) 说明(1)若数列v}没有极限,则称该数列为发散数列 下页
3 ( 1) 3 − − − = + n a a n n = 10 1 1 n 只需取 N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设 n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε， 总存在某一自然数 N，使得当 n＞N 时，都有 a a n − ＜ε 则称数列 n a 收敛于 a，a 为它的极限。记作 a a n n = → lim ｛(或 an→a,(n→ )) 说明（1）若数列an 没有极限，则称该数列为发散数列。 下页
(2)数列极限定义的“符号化”记法: lman=a台vE>0,彐N,当n>N,有{-q<e n→)0 (3)上述定义中e的双重性:E的任意性 e>0是任意的,但在求N时,又可视为是给定的,由“任意性” 可知,不等式-q<,可用1an-ak2B,1an-aks2……来代 替“<”号也可用“≤”号来代替 4)上述定义中N的双重性:N的相应性,N是仅依赖于ε的 自然数,有时记作NN(e)(这并非说明N是e的函数,是即 N是对应确定的!但N又不是唯一的,只要存在一个N,就会存在 无穷多个N (5)如何用肯定的语气叙述1iman≠a 下页
(2）数列极限定义的“符号化”记法： a a n n = → lim ＞0， N，当 n＞N，有 an − a ＜ε (3）上述定义中ε的双重性： 的任意性 ε＞0 是任意的，但在求 N 时，又可视为是给定的，由“任意性” 可知，不等式 an − a ＜ε，可用 | a − a | 2 n ， k n | a − a | ……来代 替 “＜”号也可用 “≤” 号来代替 (4）上述定义中 N 的双重性： N 的相应性, N 是仅依赖于ε的 自然数，有时记作 N=N（ε）（这并非说明 N 是ε的函数，是即： N 是对应确定的！但 N 又不是唯一的，只要存在一个 N，就会存在 无穷多个 N。 （5）如何用肯定的语气叙述 an a n → lim ： 下页
彐G>0,yN,彐n。尽管n>N,但n-q≥e (6)如何用肯定的语气叙述,数列{}发散: va∈R,彐so=E(a)>0,VN,彐n。.尽管n>N,但 (7)iman=a的几何意义 a 即a的任给ε邻城,都存在一个足够大的确定的自然数N,使数列 {an}中,所有下标大于N的a,都落在a的ε邻城内。 下页
x a-ε a+ε aN an aN a 0 ＞0， N， n。尽管 n。＞N，但 a a n o − ≥ε。 （6）如何用肯定的语气叙述，数列 an 发散： a R ， (a) O = O ＞0， N， no, 尽管 no＞N，但 a a o n − ≥εo。 （7） a a n n = → lim 的几何意义： 即 a 的任给ε邻城，都存在一个足够大的确定的自然数 N，使数列 an 中,所有下标大于 N 的 an,都落在 a 的ε邻城内。 下页
三、用极限定义证明iman=a的例题 n→0 例1.证明m=0(K为正实数) 证:由于 所以∨>0,取N1,当n>N时,便有 <8 注:或写作:V>0,取N=_,当n>N时,有 <8 下页
三、用极限定义证明 a a n n = → lim 的例题 例 1.证明 0 1 lim = → k n n （K 为正实数） 证：由于 k k n n 1 0 1 − = 所以ε＞0，取 N= k 1 1 ,当 n＞N 时,便有 − 0 1 k n 注：或写作：ε＞0，取 N= k 1 1 ，当 n＞N 时，有 − = K K n n 1 0 1 ，∴ 0 1 lim = → k n n 下页