第一节向量及其运算 点，而在AB直线上的点M分有向线段AB为两个有向线段A与M正，使它们的模的比 等于某数AA≠-1D,即=A,求分点M的坐 ME 标x、y和. 解如图5-21所示，因为A、M店在一直线上，故 AM=A MB. 而A=(x-x,y-1,-), B=(x2-x,2-y,3-),因此 (x-1，y-1,名-)=(-，2-，-)， 图5-21 即x-为=A(2-x),y-为=A02-y）,2-=A(3-), 可得 尝 y+Ay2 点M叫作有向线段A店的定比分点，当入=1时，点M是有向线段A厉的中点，其坐标为 2 2 2 例5设m=3i+5j+8k,n=2i-4-7k,p5i-4k,求a=4m+3n-p在x轴上的坐标及 在y轴上的分向量. 解a=4m+3n-p=4(3i+5列t8k)+3(22-7k)-(5i+j-4k)=13i+7万+15k, 所以a在x轴上的坐标为13，在y轴上的分向量为j 三、向量的模、方向角、 设a为任意一个非零向量，又设a、B、y为a与三坐标轴正向之间的夹角(0≤a, B,y≤T),如图5-22所示，则a、B、Y分别为向量a的方向角，由于向量坐标就是向 量在坐标轴上的投影，故有 a,lalcosa,a,lalcos8,a,lalcosy 其中，cosa,cosB、cosy称为向量a的方向余弦，通常用来表示向量的方向. 由模的定义，可知向量a的模为 a=√(x2-x1)2+(32-y1)2+(2-) =a2+a+a. d 或cosa= a t aa √a2+a2+a +y d. cosy 图5-22 7
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第五章向量与空间解析几何 由此可得 cos2a cos2B cos2y=1, 即任一非零向量的方向余弦的平方和为1，进一步， e.=Tal=Tana,a.a)= (a,a,a:)=(cosa,cosB.cosy) a:+aa 例6设两已知点M,(2,2,2)和M2(1,3,0),分别写出向量M1M、M2M的坐 标表示式和向量表示式，计算它们的模、方向余弦、方向角、同向单位向量 解向量M12=(1-2,3-2,0-2)=(-1,1,-2)=-i+j-2k M2M=-M1M2=-(-1,1,-√2)=(1，-1,2)=i-j+2k. 模1M,M1=1M2M1=√(-1)2+12+(-2)2=2. M1M?的方向余弦为 1 =- 对应的方向角为 1 3 同理可得M,的方向余弦为 对应的方向角为 3,6 与，女同向的单位向量为e%气分三。马 (22-2 与可的单位向量为：一 例7求平行于向量a=6i+)-6k的单位向量. 解所求向量有两个，一个与a同向，一个与a反向 由于|a=√62+72+(-6)7=11，故 e合品+7日品-7+ 例8已知向量P乃的模为1P乃1=2，向量与x轴和y轴的夹角分别为号和牙 如果P,的坐标为(1,0,3)，求P2的坐标. 解设向量P,P?的方向角分别为a、B、Y .8
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第一节向量及其运算 因为a=号B=牙，则m=分，cg=受 又因为me+ewB+omy=1,所以y=±行，可得y=号或y- 设P2的坐标为(x,y,). 由内可知行，解方程可得2 由9可兮9 2-2 ,解方程可得y=2, 由y房可知行3±分，解方可得：=4攻：2， 因此，P2的坐标为(2,2,4)或(2,2,2). 四、数量积 首先我们来看一个引例 设一个物体在恒力F作用下，沿直线从点M,移动到点M2(见图5-23)，以s表示位 移M,.由物理学知道，力F所做的功为W=Ps个co0(见图5-24)，其中0为F与s的 夹 ▣▣ 数量积 图523 图5-24 从这个问题可以看出，我们有时要对两个向量做这样的运算，运算的结果是一个数 它等于这两个向量的模及它们夹角的余弦的乘积.我们把这 个数称为这两个向量的数量积（也称为内积或点积）（见 图5-25). 定义1给定向量a与b,我们将|a与b及它们的夹 角0的余弦的乘积，称为向量a与b的数量积，记为a·b,即 图5-25 a·b=|ablcose0=al bleos(a,b)(0≤0≤T). 由数量积的定义可知，恒力F沿直线从点M,移动到点M2,所做的功为 W=FIIM,M2 lcos0 =F.MM2. 由定义1可以推出： (1)a.b=la Prib=b|Prja; ,9
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第五章向量与空间解析几何 (2)a.a=lallalcos(a,a)=lal2; (3)若|a≠0，|b川≠0，则a·b=0-a⊥b. 证若已知a·b=0,即|alblcos(a,b)=0,故cos(a,b)=0,(a,b)=T,因此 a⊥b; 反之，若a上b,即(a,b)=号，故cos(a,b)=0,从而lal lblcos(a,b)=0,因 此a·b=0. 数量积符合下列运算规律】 (1)交换律：a·b=b·a. 证a·b=|allbleos(a,b)=|bllalcos(b,a)=b·a. (2)分配律：(a+b)·c=a·c+b·c, 证（a+b）·c=cPj.(a+b)=cl(P可.a+Pj.b）八人2 =cPrja+|cPrjb=a·c+b·cy (3)(Aa)·b=a·(Ab)=A(a·b)(其中A是实数 证当入=0时，三者均为零，显然成立： 当A>0时，(Aa)·b=laallblcos(Aa,b)=入dallblcos(a,b)=A(a·b) lallablcos(a,ab)=a(Ab) 当A<0时，(aa)·b=Aallblcos(Xab)=-Aalb|cos(r-(a,b) =alal brcos(a by=a(a.b) =-Aa0beos(r-(a,b)） =allableos(a,ab)=a.(Ab). 类似地，可证得(Aa)人h)三u(a·b) 下面来看两向量的数量积的坐标表示式， 设a=(ax,ay,a》=a+aj+a,k,b=(b,b,b)=b,i+b,j+bk,则 ab=(a i+ayj+ak).(bi+byj+bk) =a,b,ii+anb,i.j+ab.ik+a,bji+a,b,jj+a,bjk +abk·i+ab,kj+a,bk·k, 注意到i·i=j.j=k·k=1,i·j=j.k=k·i=0,则有 a·b=ab.+a,b,+ab- 由此可得：若a≠0，lb≠0，则 以品 ab,a,by ab: a·b=0分a1bab+a,b,+a,b=0. 例9利用向量证明不等式： √a+a+a√6+b+b6≥lab1+a2b2+abl, 10
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第一节向量及其运算 其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为非零常数，并指出等号成立的条件 证设a=(a1,2,a3),b=(b1,b2,b3),则 品成西 aib +a2b2 +a3b3 从而 a+a+ab+b+b laby +azb2 agb3l. 等号成立当且仅当a/b. 例10已知a=(1,1,-4),b=(1,-2,2),求： (1)a·b;(2)a与b的夹角6；(3)a在b上的投影. 解(1)由数量积的坐标表达式可知 a·b=1·1+1·(-2)+(-4)·2=-9. (2)因为 a b,a,by a.b: c0s0= a+a+a+6+ +1P+(-4以2+2 所以0=3西 (3)由a·b=b1Prj.a,可得 Prisa =ab b3 例11已知a+3b⊥7a-5b,a4b17a-2b,试求(a,b). 解根据题意，有 1(a+3b·(7a-5b)=0, (a4b)·(7a-2b)=0, 7la2+16a·b-15b12=0, 7la2-30a·b+8lb2=0, 两式相减得a:b=b,代入第一个方程得1a=b1。 因此 ma高6品分 即(a,b)=号 例12液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为， (常向量)，设n为垂直于S的单位向量（见图5-26），计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的重量P(液体的密度为ρ). 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A,斜高为|，川的斜柱体，这柱 体的斜高与底面的垂线的夹角就是，与n的夹角B.所以这柱体的高为vlos9,体积为 .11
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