《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十五章 傅里叶级数 第三节 收敛定理的证明

推论1若f为可积函数，则lim (" f(x)cos nx dx = 0,1-0(5)lim J f(x)sin nx dx = 0,一因为(1)的左边级数收敛,所以当 n→ 时，通项a,+b,→0, 亦即有an→0与b,→0,这就是(5) 式这个推论称为黎曼一勒贝格定理推论2若f为可积函数，则后页返回前页

前页 后页 返回 推论1 若 f 为可积函数, 则 π π π -π lim ( )cos d 0, (5) lim ( )sin d 0, n n f x nx x f x nx x → − →  =   =     因为(1)的左边级数收敛, 所以当 n →  时, 通项 2 2 0 n n a b + → 0 n a → 0 n , 亦即有 与 b → , 这就是 (5) 式, 这个推论称为黎曼－勒贝格定理. 推论2 若 f 为可积函数,则

1xdx = 0.f" f(x)sinlimn+-2)1-00(6)1"f(x)sin0limxdxn+-2)元-0证由于1xxsinx = cos=sin nx + sin=cos nx,n+=122V所以1" f(x)sin n+})xdx =2前页后页返回

前页 后页 返回 → → −    + =          + =         π 0 π π 1 lim ( )sin d 0, 2 (6) 1 lim ( )sin d 0, 2 n n f x n x x f x n x x 1 sin cos sin sin cos , 2 2 2 x x n x nx nx   + = +     π 0 1 ( )sin d 2 f x n x x   + =      证 由于 所以