第3章布尔代数基础 =ABC+ABC+ABC十ABC=m:十ma十m:十m: =∑m(2,3,4.7) 方法二：列表法，即列出函数的真值表，使函数取值为1的那些最小项，就构成了函数 的“标准积之和”形式。例如，函数F(A,B,C)-AB+AC+BC的真值表列于表3.7。根 据真值表可以很方便地写出函数的表达式为 F(A,B,C)=m2+m3+m:+m,=∑m(2,3,4,7) 式中，m:mm:和m,是相应于真值表中使函数取值为1的那些最小项。 表3,7函数的真值表与最小项 A B C F(A.B.C) 最小项 000 0 00 0 010 m:-A BC 011 1 m=ABC 100 m=ABC 101 0 110 0 111 m:-ABC 2.标准和之积 所谓标准和，是指函数的和项包含了全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量形式 出现，且仅出现一次。标准和项通常又称为最大项。 一个函数可以用最大项之积的形式表示，我们把这种形式称为函数的“标准和之积”形 式。例如，一个三变量函数为 F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(不+B+C)(不+B+C) 它由4个最大项组成，这就是函数的“标准和之积”形式。 同样，3个变量最多可组成8个最大项，如表3.6所示。通常，最大项用M,来表示，其 下标i是这样确定的：当最大项的各变量按一定次序排好后，把其中的原变量记为0，反变 量记为1，便得到一个二进制数，与该二进制数相应的十进制数就是最大项的下标i。 这样，上述函数F(A,B,C)可以写成 F(A.B.C)=(A+B+C)(A+B+C)(+B+C)(+B+C) =M。M1MsM6=ⅡM(0,1,5,6) 其中，符号“Ⅱ”表示各最大项相“与”，括号内的十进制数表示各最大项的下标。 最大项具有下列3个主要性质： (1)对于任意一个最大项，只有一组变量取值可使其值为0 (2)任意两个不同的最大项之和必为1，即 M,+M,=1(i≠j) (3)n变量的所有2个最大项之积必为0，即
=ABC +ABC +ABC +ABC =m2 +m3 +m4 +m7 = ∑m(2,3,4,7) 方法二:列表法,即列出函数的真值表,使函数取值为1的那些最小项,就构成了函数 的“标准积之和”形式。例如,函数F(A,B,C)=AB+ABC+BC 的真值表列于表3.7。根 据真值表可以很方便地写出函数的表达式为 F(A,B,C)=m2 +m3 +m4 +m7 =∑m(2,3,4,7) 式中,m2、m3、m4 和m7 是相应于真值表中使函数取值为1的那些最小项。 表3.7 函数的真值表与最小项 A B C F(A,B,C) 最 小 项 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 m2=ABC 0 1 1 1 m3=ABC 1 0 0 1 m4=ABC 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 m7=ABC 2.标准和之积 所谓标准和,是指函数的和项包含了全部变量,其中每个变量都以原变量或反变量形式 出现,且仅出现一次。标准和项通常又称为最大项。 一个函数可以用最大项之积的形式表示,我们把这种形式称为函数的“标准和之积”形 式。例如,一个三变量函数为 F(A,B,C)=(A +B +C)(A +B +C)(A +B +C)(A +B +C) 它由4个最大项组成,这就是函数的“标准和之积”形式。 同样,3个变量最多可组成8个最大项,如表3.6所示。通常,最大项用 Mi 来表示,其 下标i是这样确定的:当最大项的各变量按一定次序排好后,把其中的原变量记为0,反变 量记为1,便得到一个二进制数,与该二进制数相应的十进制数就是最大项的下标i。 这样,上述函数F(A,B,C)可以写成 F(A,B,C)=(A +B +C)(A +B +C)(A +B +C)(A +B +C) =M0 M1 M5 M6 =∏M(0,1,5,6) 其中,符号“∏”表示各最大项相“与”,括号内的十进制数表示各最大项的下标。 最大项具有下列3个主要性质: (1)对于任意一个最大项,只有一组变量取值可使其值为0。 (2)任意两个不同的最大项之和必为1,即 Mi +Mj =1 (i≠j) (3)n 变量的所有2 n 个最大项之积必为0,即 第3章 布尔代数基础 55
56 计算机组成原理（第2版） iM,=0 同样地用展开定理可以证明，任何”变量的函数都有一个且仅有一个最大项表达式 即“标准和之积”形式。求函数的“标准和之积”的方法也有两种方法： 方法一：代数演算法，即通过反复地使用公式x·五-1和x十yg=(x十y)(x+:)而 求得“标准和之积”的方法。例如 F-万B+ABC+BC=(AB+A)(AB+B)(万B+C)+BC =(A+A)(B+A)(A+B)(B+B)(A+C)(B+C)+BC -(A+B)(A+B)(+C)(B+C)+BC =(A+B)(A+B)(A+C)(B+C)+B)(A+B)(A+B)(A+C)(B+C)+C) =(A+B+B)(I+B+B)(I+C+B)(B+C+B)· ((A+B+C)(A+B+C)(A+C+C)(B+C+C)) =(A+B)(A+B+C)(B+C)(A+B+C)(A+B+C) 由于表达式中第一项缺少变量C,所以要加上C·C:第三项缺少变量A,所以要加 A·不，即 F=(A+B+C·C)(A+B+C)(A·万+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =MM,M3M.=ΠM(0,1,5,6) 可见，用这种方法是比较麻烦的。 方法二：列表法，即列出函数的真值表，那些使函数取值为0的最大项，就构成了函数 的“标准和之积”形式。例如，上述函数的真值表列于表3.8，根据真值表可以很方便地写出 表达式为 F(A,B,C)=M.M,M,M6=M(0,1,5,6) 表38函数的直值表与最大项 A BC F(A.B.C) 最大项 000 0 M。=A+B+C 001 0 M,=A+B+C 010 1 011 1 10.0 101 0 M.=不+B+云 110 0 M。=A+B+C 111 1 比较表3.7和表3.8，可以得出两点结论 (1)同一个函数既可以表示成“标准积之和”的形式，又可表示成“标准和之积”的形式
∏ 2 n-1 i=0 Mi =0 同样地用展开定理可以证明,任何n 变量的函数都有一个且仅有一个最大项表达式, 即“标准和之积”形式。求函数的“标准和之积”的方法也有两种方法: 方法一:代数演算法,即通过反复地使用公式x·x - =1和x+yz=(x+y)(x+z)而 求得“标准和之积”的方法。例如 F =AB +ABC +BC =(AB +A)(AB +B)(AB +C)+BC =(A +A)(B +A)(A +B)(B +B)(A +C)(B +C)+BC =(A +B)(A +B)(A +C)(B +C)+BC =((A +B)(A +B)(A +C)(B +C)+B)((A +B)(A +B)(A +C)(B +C)+C) =((A +B +B)(A +B +B)(A +C +B)(B +C +B))· ((A +B +C)(A +B +C)(A +C +C)(B +C +C)) =(A +B)(A +B +C)(B +C)(A +B +C)(A +B +C) 由于表 达 式 中 第 一 项 缺 少 变 量 C,所 以 要 加 上 C·C;第 三 项 缺 少 变 量 A,所 以 要 加 A·A,即 F =(A +B +C·C)(A +B +C)(A·A +B +C)(A +B +C)(A +B +C) =(A +B +C)(A +B +C)(A +B +C)(A +B +C) =M0M1M5M6 =∏M(0,1,5,6) 可见,用这种方法是比较麻烦的。 方法二:列表法,即列出函数的真值表,那些使函数取值为0的最大项,就构成了函数 的“标准和之积”形式。例如,上述函数的真值表列于表3.8,根据真值表可以很方便地写出 表达式为 F(A,B,C)=M0M1M5M6 =∏M(0,1,5,6) 表3.8 函数的真值表与最大项 A B C F(A,B,C) 最 大 项 0 0 0 0 M0=A+B+C 0 0 1 0 M1=A+B+C 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 M5=A+B+C 1 1 0 0 M6=A+B+C 1 1 1 1 比较表3.7和表3.8,可以得出两点结论: (1)同一个函数既可以表示成“标准积之和”的形式,又可表示成“标准和之积”的形式。 56 计算机组成原理(第2版)