二)、随机变量的分布函数 定 设X(o)是一个随机变量 称函数F(x):=P{X≤x,一∞<x 为随机变量X的分布函数 分布函数的性质 (1)Va<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性) (2)F(x)是一个右连续的函数 (3)Vx∈Rl,总有0≤F(x)≤1(有界性),且 lim F(x=0 lim F()=1 x→ 记mF(x)为F(-∞)记mnF(x)为F() x→-00 xX→0
（二）、随机变量的分布函数 设X()是一个随机变量. 称函数 F(x):= P{X≤x},-∞<x<∞ 为随机变量X的分布函数. 分布函数的性质 （1）a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性) （2）F(x)是一个右连续的函数 （3） xR 1 ,总有0≤F(x)≤1(有界性),且 lim ( ) = 0 lim ( ) =1 →− → F x F x x x lim ( ) (−) lim ( ) () →− → F x F F x F x x 记 为 记 为 定 义
证明:仅证(1) {a<x≤b}={X≤b}∩{Xa} ={X≤b}-{X≤a},而{≤a}c{X≤b} P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a} F(b)-F(a). 又P{a<X≤b}≥0,F(a)≤F(b) 注意 上述证明中我们得到一个重要公式 P{a<X≤b}=F(b)-F(a) 它表明随机变量落在区间(a,b]上的概 率可以通过它的分布函数来计算 回回
证明: 仅证(1) ∵{a<X≤b}={X≤b}∩{X>a} ={X≤b}-{X≤a},而{X≤a}{X≤b}. ∴ P{a<X≤b}= P{X≤b}- P{X≤a} =F(b)- F(a). 又∵P{a<X≤b}≥0, ∴F(a)≤F(b). 上述证明中我们得到一个重要公式: P{a<X≤b}=F(b)- F(a). 它表明随机变量落在区间(a,b]上的概 率可以通过它的分布函数来计算. 注意
离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X的分布律为 k:=P{X=x},k=1,2, X的分布函数 F(x)=P{X≤x=PUX=xk} k F(x)=∑P{X=x}=∑Pk x≤x k ≤x 回回
设离散型随机变量X的分布律为 pk:= P{X=xk} , k=1,2,…, X的分布函数 离散型随机变量的分布函数 = = = x x k k F(x) P{X x} P X x = = = x x k x x k k k F(x) P X x p
分布函数F(x)是一个右连续的函数,在 xx(k=1,2.)处有跳跃值p=PX=x,如下 图(图2.2.1)所示 F(x)
分布函数F(x)是一个右连续的函数,在 x=xk(k=1,2…)处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下 图(图2.2.1)所示
P29,例2.2.1X 的分布函数 x<0 0.04 0≤X<1 F(x)= 0.36 1≤Ⅹ2 2≤Ⅹ F(r) 1.00 0.36 0.04 0 2
P29,例2.2.1 X 的分布函数 F(x)= 0 x<0 0.04 0≤X<1 0.36 1≤X<2 1 2≤X