第四章第三节 协方差与相关系数
第四章第三节 协方差与相关系数
协方差 1定义任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y,定义为 COV(, Y=EIIX-EOIIY-E(YI 2简单性质 (1)Cov(X, Y)=Cov(Y,X) (2)Cov(aX,bY= ab cov(X,Y)a,b是常数 (3)Cov(X1+X2, r)=CoV(X,, n)+ Cov(X2, Y) 回回
任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), 定义为 ⑶ Cov(X1+X2 ,Y)= Cov(X1 ,Y) + Cov(X2 ,Y) ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) 一、协方差 2.简单性质 ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 1.定义
3.计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质,可得 C0v(,1=E{X-E(X川YE( -E(XY-E(E(Y-E(EX+E(E(Y FE(XY-E((n 即 COV(X,Y=E(XY-E(XE(Y 可见,若X与Y独立,Cov(X,Y)=0 回回
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即
4.随机变量和的方差与协方差的关系 Var(+r)= var()+ var(n+ 2Cov(X,y) or(∑X,)=∑r(x1)+2Co(X,X 若X1,X2…,m两两独立,上式化为 ar(∑X)=∑rr(x 回回
若X1 ,X2 , …,Xn两两独立,，上式化为 Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 ( ) ( ) 2 ( , ) 1 1 i j n i n i i j Var Xi Var Xi Cov X X = = = + = = = n i n i Var Xi Var Xi 1 1 ( ) ( )
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系,但它还受X与Y本身度量单位 的影响.例如: Cov(kX, kr)=k-Cov(X,Y) 为了克服这一缺点,对协方差进行标准化, 这就引入了相关系数 回回
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k 2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化， 这就引入了相关系数