1 6-4 -1 4 0 -43 1 -1 0 04-8 0 0 0 4 -8 6 -4 -1 4 34(-1) 0 -4 3 1 -1 0 0 0 4 -8 00 0 0 (1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知 r(A)=3. 上页 返回
− − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 (1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知 r(A) = 3. ( 1) r34 − − − − − − − 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 ( 3) r23 − ( 4) r24 −
(2)再求A的一个最高阶子式. 取第一，二，三行及一，二，四列得 16-1 -41 ≠0对应矩阵A 4 3 -2 6 2 0 ≠0 1 6 上页 返回
(2)再求 A的一个最高阶子式. 取第一,二,三行及一,二,四列得 0对应矩阵A 4 4 1 1 6 1 − − 0 1 6 1 2 0 5 3 2 6 − −
满秩矩阵： 设n阶可逆矩阵A, …A≠0，.A的最高阶非零子式即为A, 故r(A)=n. 可逆矩阵的秩等于阶数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵.奇异矩阵为降秩矩阵 上页 返回
设 n 阶可逆矩阵 A， A 0, A的最高阶非零子式即为A, 故 r(A) = n. 为满秩矩阵. 可逆矩阵的秩等于阶数，故称可逆矩阵 奇异矩阵为降秩矩阵. 满秩矩阵:
定理1的推论： 推论1设A是任一m×n矩阵，而P,Q分别是m阶、 n阶满秩矩阵，则必有 r(PA)=r(A0)=r(PAO) 证明：满秩矩阵（即可逆矩阵）可以表示成 有限个初等矩阵的乘积，这样乘积矩阵PA,AQ, PAQ均可看成是对A作了有限次初等变换的结 果，.由定理1即知本推论成立. 上页 返回
阶满秩矩阵，则必有 设 是任一 矩阵，而 分别是 阶、 n A m n P,Q m 定理1的推论： 推论1 r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) 证明： 1 . , , , 果， 由定理 即知本推论成立 均可看成是对 作了有限次初等变换的结 有限个初等矩阵的乘积 这样乘积矩阵 满秩矩阵（即可逆矩阵）可以表示成 PAQ A PA AQ
推论2若已知任一m×n矩阵A的标准形分解为 4=u-68e 则必有()=r(即单位矩阵I的阶数). 提示：利用推论1即得 显然，可逆矩阵A的标准形必为单位阵I. 上页 返回
推论 2 若已知任一m n矩阵A的标准形分解为 Q O O I O A PNQ P r = = 则必有 ( ) （即单位矩阵 的阶数）. r r A = r I [提示：利用推论1即得。] 显然，可逆矩阵A的标准形必为单位阵 I