例2求矩阵B = 的秩. 0 0 0 解B是一个“行阶梯形矩阵”，其非零行行， .B的所有4阶子式全为零 2-1 3 取自非零行首非零元所在列 而 03 -2 ≠0， r(B)=3. 0 0 4 说明行阶梯形矩阵的秩即其非零行的行数 上页 返回
例2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩 − − − − B = 解 B是一个“行阶梯形矩阵”，其非零行有3行， B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3 − − 而 r(B) = 3. 取自非零行首非零元所在列 说明 行阶梯形矩阵的秩即其非零行的行数
例3i 知A= 求该矩阵的秩 解 :二阶子式 =2≠0，计算A的3阶子式， 3-2 132 3-22 1 -22 2-1 = 0023=D,-13 =00 -13=0, -2 0 1 -205015 -2 1 5 =0. ∴r(A)=2. 上页 返回
例3 已知 ，求该矩阵的秩． − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3 二阶子式 = 2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = =0, = 0, = 0. r(A) = 2
(1 3 -2 2 另解对矩阵A= 0 2 -1 3 做初等变换， -2 0 1 5 1 3-2 2 -22 得 0 2-13 2-13 -2 01 5 000 0 显然，非零行的行数为2， r(A)=2. 此方法简单！ 问题： 这种方法到底对不对？若对，有没有理论根据？ 上页
对矩阵 做初等变换， − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 − − − − − 得 显然，非零行的行数为2， r(A) = 2. 此方法简单！ 问题： 这种方法到底对不对？若对，有没有理论根据？
二、矩阵秩的计算 定义3称满足以下两个条件的m×n矩阵为 行阶梯形矩阵： (1)每行的非零元（如果有的话）前的零元 个数比其上一行这种零元个数多； (2)如果某行没有非零元，则其下所有行的 元素全为零. 若行阶梯形矩阵的非零行的首非零元均为 1,且这些1所在的列的其它元素都是0，则称其 为行最简形矩阵
二、矩阵秩的计算 定义3 称满足以下两个条件的mn 矩阵为 行阶梯形矩阵： 个数比其上一行这种零元个数多； (1) 每行的非零元（如果有的话）前的零元 . (2) 元素全为零 如果某行没有非零元，则其下所有行的 为 ，且这些 所在的列的其它元素都是 ，则称其 若行阶梯形矩阵的非零行的首非零元均为 1 1 0 行最简形矩阵
定理1对于任何矩阵Amx,总可经过有限次初等 行变换把它变为行阶梯形矩阵 [证明略] 问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？ 定理2若A~B,则r(A)=r(B) 证明略 上页 返回
. , 行变换把它变为行阶梯形矩阵 对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初等 问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？ 定理 2 若 A ~ B,则 r(A) = r(B). 证明略 定理1 [证明略]