7.2代数运算的性质 定义7.3：设*为集合S中的二元运算，如果存在 e,∈S(e,∈S)且对任意的元素x∈S均有x*e=x(e,*x=x) 则称元素e,(e,)为S中关于运算*的右么元（左幺元） 或右单位元（左单位元）。 定理7.1：设*是集合S中的二元运算，且e,与分别 是对于*的右幺元和左幺元，则e,=e,=e,对任意 元素x∈S有x*e=e*x=x,称元素e为关于运算*的 么元(Identity Elements)且唯一。 证：e,是*的右么元∴.e,*e,=e,e,是*的左么元 .∴.e,*e,=e, .e,=e1,令e=e,=e,则有x*e=e*x=x, 设另有一么元为右么元e',那么e=e*e'=e' .e对*是唯一的么元。 773
7/73 7.2 代数运算的性质 •定义7.3：设*为集合S中的二元运算，如果存在 且对任意的元素 均有 则称元素 为S中关于运算*的右幺元(左幺元) 或右单位元(左单位元)。 • 定理7.1：设*是集合S中的二元运算，且 分别 是对于*的右幺元和左幺元，则 ，对任意 元素 ，称元素e为关于运算*的 幺元(Identity Elements)且唯一。 证： e S(e S) r l xS x e x(e x x) r = l = ( ) r l e e r l e 与e e e e r = l = xS有x e = e x = x 对 是唯一的幺元。 设另有一幺元为右幺元 ，那么 令 ，则有 是 的右幺元 是 的左幺元 = = = = = = = = = e e e e e e e e e e e x e e x x e e e e e e e e r l r l r l r l l l r r , , ,
7.2代数运算的性质 >()对于可交换的二元运算来说，左幺元都为右么 元，右幺元也为左幺元，即为幺元； >(2)么元必须强调是针对某一个运算而言的。 ●例7-3：(1)R中的加法“+”运算：0是幺元； (2)R中的乘法“×”运算：1是幺元； (3)全集E的子集的并“U”运算：0是幺元； (4)全集E的子集的交“∩”运算：E是么元； (5)命题集合中，析取“V”运算：矛盾式是么元； (6)命题集合中，合取“入”运算：重言式是么元； (7)A4={f|f:A→，A上的函数集合中，复合“。”运算： I是么元。 8/73
8/73 7.2 代数运算的性质 ➢(1)对于可交换的二元运算来说，左幺元都为右幺 元，右幺元也为左幺元，即为幺元； ➢(2)幺元必须强调是针对某一个运算而言的。 •例7-3：(1)R中的加法“+”运算：0是幺元； (2)R中的乘法“×”运算：1是幺元； (3)全集E的子集的并“∪”运算： 是幺元； (4)全集E的子集的交“∩”运算：E是幺元； (5)命题集合中，析取“∨”运算：矛盾式是幺元； (6)命题集合中，合取“∧”运算：重言式是幺元； (7) 是幺元。 上的函数集合中，复合“”运算： A A I A ={ f | f : A→ A}, A
7.2代数运算的性质 定义7.4：设*是S中的二元运算，如果存在 0,∈S(0,∈S)且对任意元素x∈S均有x*0.=0,(0,*x=0) 称元素8，(8，)是S中关于运算*的右零元（左零元）。 定理7.2：设*是S中的二元运算且8，与0，分别是对* 的右零元和左零元，则日.=0，=0，使对任意元素 x∈S,有x*0=0*X=0，, 称元素0是$中关于 运算*的零元(zero)且唯一。 证：0是*的右零元∴.0，*0=0,0，是*的左零元 .0,*0,=0,∴.0，=0，令0=0=0，则有x*0=0*x=0, 设另有一零元为右零元0'，那么0=0*0'=0' .对*是唯一的零元。 9/73
9/73 7.2 代数运算的性质 •定义7.4：设*是S中的二元运算，如果存在 且对任意元素 均有 称元素 是S中关于运算*的右零元(左零元)。 • 定理7.2：设*是S中的二元运算且 分别是对* 的右零元和左零元，则 ，使对任意元素 ，称元素 是S中关于 运算* 的零元(zero)且唯一。 证： S( S) r l xS ( ) r r l l x = x = ( ) r l r与l r =l = xS,有x = x = 对 是唯一的零元。 设另有一零元为右零元 ，那么 令 ，则有 是 的右零元 是 的左零元 = = = = = = = = = ' ' ' x x l r l r l r l r l r r l , , , ,
7.2代数运算的性质 ·例7-4：(1)R中的加法“+”运算：无零元； (2)R中的乘法“×”运算：0是零元； (3)全集E的子集的并“U”运算：E是零元； (4)全集E的子集的交“∩”运算：0是零元； (5)命题集合中，析取“V”运算：重言式是零元； (6)命题集合中，合取“∧”运算：矛盾式是零元； (7)S={a,b,c},S上的*运算的运算表如下： 光 a b 则b是右零元，a是幺元。 a a b b b b b b 10/73
10/73 7.2 代数运算的性质 •例7-4：(1)R中的加法“+”运算：无零元； (2)R中的乘法“×”运算：0是零元； (3)全集E的子集的并“∪”运算：E是零元； (4)全集E的子集的交“∩”运算： 是零元； (5)命题集合中，析取“∨”运算：重言式是零元； (6)命题集合中，合取“∧”运算：矛盾式是零元； (7)S={a，b，c}，S上的*运算的运算表如下： * a b c a a b c b b b c c c b b 则b是右零元，a是幺元