三、在坐标系中计算二重积分 1.极坐标系下的面积元素 设函数的积分区域为D,用r取一系列常数 (得到一族中心在极点的同心圆)和取一系列常 数(得到一族过极点的射线)的两组曲线,将D分成 许多小区域(见下图),于是得到了极坐标系下的面 积元素为 do drdo 再分别用x= rose,y=sn代换被 积函数f(x,y)中的x,y,这样二重积分在 极坐标系下表达形式为 f(x, y)do=ll f(rose, rsin O )drdo 0 冈凶
1. 极坐标系下的面积元素 设函数的积分区域为 D， 用 r取一系列常数 (得到一族中心在极点的同心圆)和 取一系列常 数(得到一族过极点的射线)的两组曲线，将 D分成 许多小区域(见下图),于是得到了极坐标系下的面 积元素为 d = rdrd . 再分别用x = r cos , y = sin 代换被 积函数 f (x, y)中 的x, y,这样二重积分在 极坐标系下表达形式为 = D f (x, y)d D f (r cos ,rsin )rdrd . O x d rd dr d 三、在坐标系中计算二重积分
2.极坐标系下化二重积分为累次积分 两段边界线极坐标方程为r=1(),=)D的 设D(图a)位于两条射线O=a和=B之间 则二重积分就可化为如下的累次积分 B ∫(x,yd=ao f(rose, rsin O)rdz 如果极点O在D内部(图b),则有 r(0 f(x, y)do= do f(rcose, rsin O)rdr 0 0 r=r(6) r=B(6 () (b)冈凶
O x r = r1 () r = r2 ( ) (a) 2.极坐标系下化二重积分为累次积分 设D(图 a)位于两条射线 = 和 = 之间，D的 两段边界线极坐标方程为 ( ), ( ) r = r1 r = r2 则二重积分就可化为如下的累次积分 = D f (x, y)d ( ) ( ) 2 1 ( cos , sin ) d r r d f r r r r . 如果极点O在D内 部(图 b),则 有 = D f (x, y)d ( ) 0 2π 0 d ( cos , sin ) d r f r r r r . O x r = r ( ) (b)
例5将二重积分/(x,y)d化为极坐标系下的 累次积分,其中D:x2+y2≤2Rx,y≥0 解画出D的图形(见下图),D可表示为 0≤0≤,0≤r≤2Rc0s日, 于是得到 r=pRose f(x, y)do O 2R T Rose 2de f(rcos e, rsin e)rdr 0 冈凶
例 5 将二重积分 D f (x, y)d 化为极坐标系下的 累次积分，其中D : 2 2 x + y ≤2Rx, y ≥ 0 . 解 画出D的图形(见下图), D 可表示为 0≤ ≤ 2 π ,0≤ r≤2Rcos , y O x D r =2Rcos 2R 于是得到 = D f (x, y)d 2 cos 0 2 π 0 d ( cos , sin ) d R f r r r r
例6计算eady,D:x2+y2≤a2 解选用极坐标系计算,D表示为: 0≤r≤a,0≤≤2π,故有 dxdy=lle'rdrde do e/rdr dO=(1-e“) 冈凶
例 6 计算 − + D x y e dxdy ( ) 2 2 , D : 2 2 x + y ≤ 2 a . 解 选用极坐标系计算，D 表示为: 0≤r ≤a ,0≤ ≤2π ,故有 − + D x y e dxdy ( ) 2 2 = − − = D a r r r r r r 2π 0 0 e d d d e d 2 2 = e d π(1 e ) 2 1 - 2 2 a 0 2π 0 −r −a = −
例7计算∫x2dxdy,其中D是两圆x2+y2=1和 +y2=4之间的环形区域 解作D的图形(见下图),选用极坐标,它可表示 为1≤r≤2,0≤0≤2丌于是 2丌 I x2dxdy= del, r2 cos Ordr 0 Jo cos 0de rdr 21+cos26 15 de rd 0 冈凶
例 7 计 算 D x dxdy 2 ,其 中D是两圆 1 2 2 x + y = 和 4 2 2 x + y = 之间的环形区域. 解 作D的图形(见下图),选用极坐标，它可表示 为 1≤r≤2,0≤ ≤2π 于 是 D x dxdy 2 = = 2 1 3 2π 0 2 2 2 1 2 2π 0 d r cos rdr cos d r dr = = 2π + 0 2 1 3 π 4 15 d d 2 1 cos 2 r r . 2 y O 1 x