《高等数学》课程教学资源（习题选解）第七章 多元函数微分学

(3)因为 -y x2+yR+y(x+y2月 x2+y2-y.- 2+y oy x2+y2 (（x2+)月 所以db= +x2 3= s(xd少-yd) (x2+y2）F（x2+y2）(x2+y2）月 (4)因为 0=(o,0c(oj.产=(jo 所以d=z(gdk+(d+)In()=(y三k+三d+-In(-xy)d= x 2.求函数z=ln(1+x2+y2)当=1，=2时的全微分 解因为 =，2x dz 2y 0z 10z 脉1+r+y’01+x+y' 3 所以，全微分=k+· 3 3.计算(1.04)22的近似值. 解设f(x,y)=x”，则有f(x,y)=x，f(x,y)=x'nx. 若取x=1,y=2,△x=0.04,△y=0.02,则f1,2)=1,f(1,2)=2,f(1,2)=0. 利用近似公式 f(x+△xy+△y)≈f(x,y)+f(x,y)△x+f,(x,y)Ay, 求得(1.04)22=f1.04,2.02)≈f1,2)+f(1,2)×0.04+f(L,2)×0.02=1.08. 4.有一圆柱体，受压后发生变形，它的半径由20cm增大到20.05cm,高由100cm减少 到99cm。求此圆柱体体积变化的近似值。 解圆柱体的体积为V=πRH,则dV=2πRH△：π△上，当R=20, H=100,△R=0.05,△H=-1时， dW=π×20(2×100×0.05+20×(-1)=-200m, 即圆柱体体积减少了200πcm. 6

6 （3） 因为   2 2 3 2 2 2 2 2 z y x xy x x y x y x y           ，   2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 y x y y z x x y y x y x y           ， 所以 dz        2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) xy x x dx dy xdy ydx x y x y x y        ． （4） 因为   u z 1 yz xy x     ，   u z 1 xz xy y     ，   ln( ) u z xy xy z    ， 所以 1 1 ( ) ( ) ( ) ln( ) ( ) ln( ) z z z z z z du yz xy dx xz xy dy xy xy dz xy dx dy xy dz x y               ． 2．求函数 2 2 z x y    ln(1 ) 当 x=1, y=2 时的全微分． 解 因为 2 2 2 1 z x x x y      ， 2 2 2 1 z y y x y      ， 1 2 1 x 3 y z x      ， 1 2 2 x 3 y z y      ， 所以，全微分 1 2 1 2 3 3 x y dz dx dy     ． 3． 计算 2.02 (1.04) 的近似值． 解 设 ( , ) y f x y x  ，则有 1 ( , ) y x f x y yx   ， ( , ) ln y y f x y x x  ． 若取 x y   1 , 2 ,     x y 0.04 , 0.02，则 f (1,2) 1 ， f x (1,2) 2  ， f y (1,2) 0  ． 利用近似公式 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y f x y x f x y y        ， 求得 2.02 (1.04) (1.04,2.02) (1,2) (1,2) 0.04 (1,2) 0.02        f f f f x y 1.08． 4． 有一圆柱体，受压后发生变形，它的半径由 20cm 增大到 20.05cm，高由 100cm 减少 到 99cm 。求此圆柱体体积变化的近似值。 解 圆柱体的体积为 2 V R H  ，则 2 dV RH R R H     2  ，当 R  20 ， H 100，   R 0.05，    H 1 时， dV            20(2 100 0.05 20 ( 1)) 200 ， 即圆柱体体积减少了 3 200  cm ．

5.已知一直角三角形的斜边为2.1cm,一个锐角为31°，求这个锐角所对的直角边的近 似值。 解设fx,y)=xsiny,则有f(x,y)=siny,,(xy)=xcosy. 若取x=2,J=若a=01,Ay=高则R爱=1爱- 6 人(2石=V5.利用近似公式 f(x+△x,y+Ay)≈f(x,y)+fr(x,y)△x+f(x,y)Ay, 求利直角边长为f2L3r)f心爱+2？x01+fQ爱x10108. 180 习题7一4 1.求下列复合函数的偏导数 (0）设2=+，而u=x+以y=-y,求在，产 Ox dy ②)设z=nv,而u=5v=3x-2y,求产， 0z 3)设z=e-,而x=sin4,y=户，求 (④设z=arcsin((x-以，而x=3t,y=4r,求 t )2=f-y,e),求，应 (6u=fxy,a）,求，0.au x'’品 解(1) =2 0+20 =2(x+y)+2(x-y)=4x, Ox x 02-2u1 +2=2K+y)-2k-y片. dy (2)解法一：由复合函数的求导法则有 正.在.0在-2wlnv+3=2m3x-2+6x-2w 3r2 Ox Ou ax Ov Ox y v y >

7 5． 已知一直角三角形的斜边为 2.1cm ，一个锐角为 31o ,求这个锐角所对的直角边的近 似值。 解 设 f x y x y ( , ) sin  ，则有 f x y y x ( , ) sin  ， ( , ) cos y f x y x y  ． 若取 2 , 6 x y    ， 0.1 , 180 x y      ，则 (2, ) 1 6 f   ， 1 (2, ) 6 2 x f   ， (2, ) 3 6 y f   ．利用近似公式 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y f x y x f x y y        ， 求得直角边长为 (2.1, 31 ) (2, ) (2, ) 0.1 (2, ) 1.08 6 6 6 180 x y f f f f           ． 习题 7－4 1． 求下列复合函数的偏导数 (1) 设 2 2 z u v   ，而 u x y v x y     , ，求 z x   ， z y   ． (2) 设 2 z u v  ln ，而 , 3 2 x u v x y y    ，求 z x   ， z y   ． (3) 设 x y 2 z e   ，而 3 x t y t   sin , ，求 dz dt ． (4) 设 z x y   arcsin( ) ，而 3 x t y t   3 , 4 ，求 dz dt ． (5) 2 2 ( , ) xy z f x y e   ，求 z x   ， z y   ． (6) u f x xy xyz  ( , , )，求 u x   ， u y   ， u z   ． 解 (1) 2 2 2( ) 2( ) 4 z u v u v x y x y x x x x              ， 2 2 2( ) 2( ) 4 z u v u v x y x y y y y y              ． （2）解法一：由复合函数的求导法则有 2 2 2 2 1 2 3 2 ln 3 ln(3 2 ) (3 2 ) z z u z v u x x u v x y x u x v x y v y x y y                      

2x2 法二：将u=5=3x-2y代入：=rlnv中，得：=(3x-2列，于 色-21n3x-20+6x-2' 3r2 等--26xr 2x2 Ox y (3) c1-2(cos1). dt (4)解法一：由复合函数的求导法则有 止-正.k+正.少=3 -12r2 31-4） di ax di'ay di -(x-y)-(x-y)-(31-4 解法二：将x=3t,y=4r3代入z=arcsin(x-y)中，得z=arcsin(3t-4r), dz 31-4r) 于是 dt V-(3t-4r7 (5) -2+eg、年=-2+e @x (6)将三个中间变量按顺序编为1,2,3，由复合函数的求导法则有 0=1+6y+f=f++时， a -公+万如=水+5.是=不w=听 ay 2.设z=arctan,而x=u+y,y=u-v,验证 +=u-y Ou ov u+v 证明 +=.a+.0]+ 8z dx 8z oy 1+y) 2y 2(u-v) u-1 x2+y(u++(u-0+

8   2 2 2 2 3 2 2 2 2 ln 2 ln(3 2 ) (3 2 ) z x u x x u v x y y y v y x y y                    ． 解法二：将 , 3 2 x u v x y y    代入 2 z u v  ln 中，得 2 2 ln(3 2 ) x z x y y   ，于是 2 2 2 2 3 ln(3 2 ) (3 2 ) z x x x y x y x y y       ， 2 2 3 2 2 2 ln(3 2 ) (3 2 ) z x x x y y y x y y        （3） 3 2 2 2 sin 2 2 cos 2 3 (cos 6 ) dz x y x y t t e t e t e t t dt          ． （4）解法一：由复合函数的求导法则有   2 2 2 2 3 2 3 12 3 1 4 1 ( ) 1 ( ) 1 (3 4 ) dz z dx z dy t t dt x dt y dt x y x y t t                    ． 解法二：将 3 x t y t   3 , 4 代入 z x y   arcsin( ) 中，得 3 z t t   arcsin(3 4 ) ， 于是   2 3 2 3 1 4 1 (3 4 ) dz t dt t t     ． (5) 2 , 2 1 2 1 2 z z xy xy xf ye f yf xe f x y              ． (6) 将三个中间变量按顺序编为 1，2，3，由复合函数的求导法则有 1 2 3 1 2 3 1 u f f y f yz f yf yzf x                  , 2 3 2 3 u f x f xz xf xzf y             , 3 3 u f xy xyf z        ． 2. 设 arctan x z y  ，而 x u v y u v     , ，验证 2 2 z z u v u v u v         ． 证明 z z z x z y z x z y u v x u y u x v y v                                                2 2 2222 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1111 2 2( ) x x y y y y xxxx yyyy y u v u v x y u v u v u v                                           

3.设z=f(x,y),x=rcos0,y=rsin0,证明： )+-+ 解由复合函数求导法则 - rcos0+、 点=-rsim0+rcos0, Oy ay 故 (信高-层w0+n+会rsm0+等0 4.设z=y+0),而u=上，f为可导函数，求x 解因为 +-f年-+. 所以 正y 产=2y+f0=z+y. 5.设z=fx+y),其中f具有=阶导数，求：，0：0 ax2'axr⊙'d 解 =2xf, Ox 正=2yf', =2f+4x2f”, a2g=4f”, Oxoy =2f+4rr. 8 6.2=f,的，其中f俱有二阶号数，求0： Oyex 解将两个中间变量按顺序编为1,2，由复合函数的求导法则有 年=气不x+公=听+。 点=+[*后+(】

9 3．设 z f x y x r y r    ( , ), cos , sin   ，证明： 2 2 2 2 2 z z z z 1 x y r r                                     ． 解 由复合函数求导法则 cos sin , sin cos z z z z z z r r r x y x y                       ， 故 2 2 2 2 2 2 1 1 cos sin sin cos z z z z z z r r r r x y r x y                                                2 2 z z x y                 ． 4．设 z xy xf u   ( ) ，而 y u x  ， f u( ) 为可导函数，求 z z x y x y      ． 解 因为 ( ) ( ) z y y f u f u x x       ， ( ) z x f u y      ， 所以 2 ( ) z z x y xy xf u z xy x y          ． 5．设 2 2 z f x y   ( ) ，其中 f 具有二阶导数，求 2 2 2 2 2 , , z z z x x y y        。 解 z x   = 2xf  ， z y   = 2yf  ， 2 2 2 2 4 z f x f x      ， 2 4 z xyf x y      ， 2 2 2 2 4 z f y f y      ． 6. 2 ( , ) y z x f xy x  ，其中 f 具有二阶导数，求 2 z y x    ． 解 将两个中间变量按顺序编为 1，2，由复合函数的求导法则有 2 3 1 2 1 2 z 1 x f x f x f xf y x                   ， 2 2 3 1 11 12 2 21 22 2 2 3 z y y x f x f y f f x f y f y x x x                                           

=3x2f+xf”+-2 7.设xsin y+-e=0,求少 解设F(x,y)=xsiny+)e.由隐函数求导数公式，求得 Φ-_E=_siny+e dx F,xcosy+e* 8.设nVx2+y厂=arctan上，求 d 解设Fx,)=nVR+少-arctan兰=lr(r2+y)-arctan上，则 X 12x E-7y x+y 1x) 12y E,2x+ 11y-x x x2+y2 1+ 由隐函数求导公式，得少=-5=-+少/y-X=+y dx F. x2+y2/x2+y x-y 9.设e-z=0,求产及 0z 解 设Fx,y)=e-a,则产=-5=2 dx F e-xy' dy F.e-xy 10.设=n三，求产及空 解设Fxy动=兰-n手则=，5=-气引 y E=--2.1=-+2 2:y 22， 盘是儿：·香是-儿)间 1设r+y+2-4=0,求 x2 10

10 2 3 3 1 11 2 22 y x f x yf f f x         7. 设 sin 0 x x y ye   ，求 dy dx ． 解 设 ( , ) sin x F x y x y ye   ．由隐函数求导数公式，求得 sin cos x x x y dy y ye F dx F x y e       ． 8. 设 2 2 ln arctan y x y x   ，求 dy dx 。 解 设 2 2 2 2 1 ( , ) ln arctan ln( ) arctan 2 y y F x y x y x y x x       ， 则 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x x y x y F x y x x y y x                      ， 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 y y y x F x y x x y y x               ， 由隐函数求导公式，得 2 2 2 2 x y dy x y F x y y x dx F x y x y x y            ． 9. 设 0 z e xyz   ，求 z x   及 z y   ． 解 设 ( , , ) z F x y z e xyz   ，则 , x y z z z z z yz z xz F F x F e xy y F e xy             ． 10. 设 ln x z z y  ，求 z x   及 z y   ． 解 设 ( , , ) ln x z F x y z z y   ，则 1 Fx z  ， 2 1 y y z F z y y            ， 2 2 1 z x y x z F z z y z        ， 所以 2 x 1 z z z F x z x F x z z z                 ，   2 2 y 1 z z z F x z y F y x z y z                 ． 11. 设 2 2 2 x y z z     4 0 ，求 2 2 z x   ．