例3 证明：若r>0,n为正整数，则存在唯一正数xo使得x=r(x,称为r的n次正根（即算术根），记作x。=r/r)证 先证存在性 由于当x →+oo时有x"→+80，故必存在正数a，使得a" >r因f(x)=x"在[0,a]上连续，并有f(O)<r<f(a),故由介值性定理,至少存在一点x E(O,a),使得f(x)=x”=r.再证唯一性设正数x,使得x"=r，则有Xo" -x" =(xo - x)(xo"- +x"-?x+ +.+ x-l)= 0,由于第二个括号内的数为正，所以只能x。－x, =0即x, = xo
例3 ). ( 0, 00 0 0 n n x r x r x r n r n x == 记作 使得 称为 的 次正根（即算术根）， 证明： 若 为正整数，则存在唯一正数 ， 证 (0, ), ( ) . [0, ] (0) ( ), . ( ) 0 0 0 x a f x x r a f r f a a a r f x x x x n n nn = = = → + → + 至少存在一点 使得 上连续，并有 故由介值性定理， 必存在正数 ，使得 因 在 先证存在性 由于当 时有 ，故 . 0, ( )( ) 0, 1 0 0 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 1 x x x x x x x x x x x x x x r n n n n n n = − = − = − + + + = = − − − 即 由于第二个括号内的数为正，所以只能 再证唯一性 设正数 使得 ，则有
推论（有界性定理）若函数f在闭区间a.bl上连续则在[a,b]上有界定理4.7（介值性定理）设函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠ f(b).若μu为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ> f(b),则至少存在一点X E(a,b),使得f(x)= μ推论（根的存在定理）若函数f在闭区间[α,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0),则至少存在一点xo E(a,b), 使得f(xo)=0,即方程f(x)=0在(α,b)内至少有一个根
推论（有界性定理） 若函数f在闭区间[a,b]上连续， 则f在[a,b]上有界. 定理 4.7（介值性定理） ( , ), ( ) . ( ( ) ( ) ( ) ( )), ( ) ( ). ( ) ( ) [ , ] 0 0 = x a b f x f a f b f a f b f a f b f a f b f a b 使得 或 则至少存在一点 且 若 为介于 与 之间的任何实数 设函数 在闭区间 上连续， 推论（根的存在定理） 即方程 在 内至少有一个根。 ，使得 且 与 异号 即 则至少存在一点 若函数 在闭区间 上连续， ( ) 0 ( , ) ( , ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ( ) ( ) 0), [ , ] 0 0 f x a b x a b f x f a f b f a f b f a b = =