二、因子分解定理 根据充分统计量的含义,在对总体未知参数 进行推断时,应在可能的情况下尽量找出关于未 知参数的充分统计量。但从定义出发来判别一个 统计量是否是充分统计量是很麻烦的。为此,需 要一个简单的判别准则。下面给出一个定理 因子分解定理,运用这个定理,判别甚至寻找 个充分统计量有时会很方便。 湘潭大学数学与计算科学院一页一页]6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 二、 因子分解定理 根据充分统计量的含义，在对总体未知参数 进行推断时，应在可能的情况下尽量找出关于未 知参数的充分统计量。但从定义出发来判别一个 统计量是否是充分统计量是很麻烦的。为此，需 要一个简单的判别准则。下面给出一个定理—— 因子分解定理，运用这个定理，判别甚至寻找一 个充分统计量有时会很方便
定理23(因子分解定理) (1)连续型情况:设总体X具有分布密度 f(x;O),(X1,X2,…,Xn)是一样本,T(X1,X2,…,X)是一个统 计量,则T为0的充分统计量的充要条件是:样本的联合分布 密度函数可以分解为 L(f(x;))=(x,x,…x)(r(x,x,…,x,)) 其中h是x1,x,…,x的非负函数且6无关,g仅通过T依赖 于x1,x2,…,x,。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 定理 2.3 （因子分解定理） （1）连续型情况：设总体 X 具有分布密度 ( ; ),( , , , ) x X1 X2 X n f 是一样本， ( , , , ) T X1 X2 X n 是一个统 计量，则T 为 的充分统计量的充要条件是：样本的联合分布 密度函数可以分解为 = = n i i n n L f x h x x x g T x x x 1 1 2 1 2 ( ) ( ; ) ( , ,, ) ( ( , ,, ); ) , (2.3) 其中 h是x x x n , , , 1 2 的非负函数且 无关，g仅通过 T 依赖 于x x x n , , , 1 2
2)离散型情况:设总体X的分布律为P{X=x} =p(x;:0)i=12,…)T(X,2X2,…,X)一个统计量,则T是的充 分统计量的充要条件是:样本的联合分布律可表示为 PX,=x,,x,=x2 X=x, AIPX=x,) =h(x1,x2,…,x)g(T(x1,x2,…,xn):6) (24 其中h是x,x2,…,x的非负函数且与无关,g仅通过T依 赖于x1,x,…,xn。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 2）离散型情况：设总体 X 的分布律为 P X x = i i 1 2 n = = p(x ; )(i 1,2, ),T(X , X , , X ) 一个统计量，则T 是 的充 分统计量的充要条件是：样本的联合分布律可表示为 = = = = = n i n n i P X x X x X x P X x 1 1 1 2 2 , ,, ( , , , ) ( ( , , , ); ) = h x1 x2 x n g T x1 x2 x n （2.4） 其中h是x x x n , , , 1 2 的非负函数且与 无关，g仅通过 T 依 赖于 x x x n , , , 1 2
例24根据因子分解定理证明例23。 证明样本的联合分布律为 PX =x,,X X=x =(1-p)"( 若取T(x,x”人1 ∑ n 1~2 g(T(x,x,…,x);p)=(1-p)(Py 则有 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 例2.4 根据因子分解定理证明例2.3。 证明 样本的联合分布律为 − = = = = = = − n i i N I i x n x P X x X x X n x n p p 1 1 , , , (1 ) 1 1 2 2 − = − = n i xi n p p p 1 ) 1 (1 ) ( 若取 = = n i n xi n T x x x 1 1 2 1 ( , ,, ) h(x1 , x2 , , x n ) = 1 n nT n p p g T x x x p p ) 1 ( ( , , , ); ) (1 ) ( 1 2 − = − 则有