山东大学：大学数学教程《复变函数与积分变换》课程教学资源（知识点解题）第二章 解析函数（2.2）函数解析的充要条件

2复变画数与和换 1901 Complex Analysis and Integral Transform 定理22*函数f(二)=(x,y)+iv(x,y)在点=可导 台二元函数(x,y)和v(x,y)在=0=x+ 点处处可导且满足C-R方程。 且此时: f(=0) ax wo xo, Vo

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) | | | | x y x y x y x y u v u u f z i i x x x y      = + = −     0 0 0 0 2.2.1* ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f z u x y iv x y z u x y v x y z x iy C R = +  = + − 定理 函数 在点 可导 二元函数 和 在 点处处可导且满足 方程。 且此时： , u v u v x y y x     = = −

复变画数与 1901 ex Ana 证明: 必要性前面已经证明,下证充分性(将P2证明中的换即可)。 由(x,y)和v(x,y)在z0=x0+iy可微可知 a1+EAx+E,△ △=Ax+-△1 △ △x+-△y+E2x+EA 40k=0 (k=1,2,3,4) △1→

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform P25 0 z z 证明： 必要性前面已经证明，下证充分性（将 证明中的 换 即可）。 0 0 0 由u x y v x y z x iy ( , ) ( , ) 和 在 = + 可微可知 1 2 3 4 0 0 , , lim 0 ( 1,2,3,4) k x y u u u x y x y x y v v v x y x y x y k       →  →    =  +  +  +       =  +  +  +    = =