●32稳定的栊念 记号B为状空间的球形区域<R 为球面x=R。 定义3.3一个平衡点x=0称为稳定的,如果任 给R>O葱存在r>0,使当|(O)‖<r时 x(O)<R,t>0 否则称为不稳定的平衡点
11 3.2 稳定的概念 记号 为状态空间的球形区域 为球面 。 定义3.3 一个平衡点 称为稳定的，如果任 给 ，总存在 ，使当 时， 否则称为不稳定的平衡点。 BR , R x R S x R = x = 0 R 0 r 0 x r (0) x t R t ( ) , 0
●3.22渐近稳定性和指数稳定性 定3.4平衡点0为澌近稳定的,如果它是稳定的,而 且存在r>0使当x(O)<厂时,x(1)→>0,x→>∞ 定3.5平衡点0是指数稳定的,如果存在两个正数O 和几使得Ⅵ>0.|x()≤alx(O)e″在原点附近的某 个球内成立。 例:=-(1+sin2x)x,其解为 x(()=x(O)exp(L [1+sin(x(r)ddt 图此x()图x(0)|e指数稳定瘟含浙近稳定,反之不成 立
12 3.2.2渐近稳定性和指数稳定性 定义3.4 平衡点0为渐近稳定的，如果它是稳定的，而 且存在 使当 时， 。 定义3.5 平衡点0是指数稳定的，如果存在两个正数 和 使得 在原点附近的某 个球内成立。 例： ， 其解为 因此 指数稳定蕴含渐近稳定，反之不成 立。 r 0 x r (0) x t x ( ) 0, → → 0, ( ) (0) t t x t x e − 2 x x x = − + (1 sin ) 0 ( ) (0)exp( [1 sin( ( ))]) t x t x x d = − + | ( ) | | (0) | t x t x e−
●3.3线性化与局部稳定性 ● Lyapunov线性化方法 如果线性化系统是严格稳定的(即A的特征值在复平面的左拌 开平面内),那么踉线性系统的平衡点是澌近稳定的。 。如果线性化系统是不稳定的(即A的持征值至少有一个在复平 面的右拌开平面角),那么踉线性系统的平衡点是不稳定的。 如果线性化系统是临界稳定的(即A的特征值在复平面的左 开平面角,且至少有一个在虚轴上),那么由线性化系统得不 到原系统的任何信息。 e lyapunov直接方法 e Lyapunov直接方法的基本原理是一个基本物理现象的数学表
13 如果线性化系统是严格稳定的（即A的特征值在复平面的左半 开平面内），那么非线性系统的平衡点是渐近稳定的。 如果线性化系统是不稳定的（即A的特征值至少有一个在复平 面的右半开平面内），那么非线性系统的平衡点是不稳定的。 如果线性化系统是临界稳定的（即A的特征值在复平面的左半 开平面内，且至少有一个在虚轴上），那么由线性化系统得不 到原系统的任何信息。 3.3 线性化与局部稳定性 Lyapunov直接方法 Lyapunov直接方法的基本原理是一个基本物理现象的数学表 达。 Lyapunov线性化方法
●34.1正定函数与 Lyapunov画数 定义37一个标量画数Ⅳ(x)称为局部正定的,如果 V(0)=0,且在一个球B内有 X≠0→(x)>0 一个栎量画数V(x)称为全局正定的,她果V(0)=0,且 在整个空间内有 X≠0→T(x)>0 定曳3.8如果一个球B内,函数Ⅳ(x)是正定的,且 由连续偏导数,而且它沿系统的任以状态轨线的导嶽 为负定的,即 (x)≤0 那么称为系统的 yapunov画数△废弗老大廛
14 3.4.1正定函数与Lyapunov函数 定义3.7 一个标量函数 称为局部正定的，如果 ，且在一个球 内有 一个标量函数 称为全局正定的，如果 ，且 在整个空间内有 定义3.8 如果一个球 内，函数 是正定的，且 由连续偏导数，而且它沿系统的任以状态轨线的导数 为负半定的，即 那么称为系统的Lyapunov函数 V x( ) V (0) 0 = R0 B x V x 0 ( ) 0 V x( ) V (0) 0 = x V x 0 ( ) 0 R0 B V x( ) V x( ) 0 V (0) 0 =
●34.1正定函数与 Lyapunov画数 定义37一个标量画数Ⅳ(x)称为局部正定的,如果 V(0)=0,且在一个球B内有 X≠0→(x)>0 一个栎量画数V(x)称为全局正定的,她果V(0)=0,且 在整个空间内有 X≠0→T(x)>0 定曳3.8如果一个球B内,函数Ⅳ(x)是正定的,且 由连续偏导数,而且它沿系统的任以状态轨线的导嶽 为负定的,即 (x)≤0 那么称为系统的 yapunov画数△废弗虐犬廛
15 3.4.1 正定函数与Lyapunov函数 定义3.7 一个标量函数 称为局部正定的，如果 ，且在一个球 内有 一个标量函数 称为全局正定的，如果 ，且 在整个空间内有 定义3.8 如果一个球 内，函数 是正定的，且 由连续偏导数，而且它沿系统的任以状态轨线的导数 为负半定的，即 那么称为系统的Lyapunov函数 V x( ) V (0) 0 = R0 B x V x 0 ( ) 0 V x( ) V (0) 0 = x V x 0 ( ) 0 R0 B V x( ) V x( ) 0