第4章根轨迹2、根轨迹在实轴上的分离点：根轨迹在实轴上的分离点，为闭环特征方程的重实根。在其两侧，系统的闭环极点完成了由互异实数到共轭复数的变化，或者相反。因此，根轨迹在实轴上的分离点可以视作系统的阶跃响应形式有无振荡或有无超调量的分界点。K例 2: 已知 Gk(s)=s(s+1)(s+5)1绘制根轨迹，并求Kgc;JRRE2）7求阶跃响应无超调的K，值。解：该系统在P109例4-3和P113例4-6中已计算过
第4章 根轨迹 2、根轨迹在实轴上的分离点： 根轨迹在实轴上的分离点，为闭环特征方程的 重实根。在其两侧，系统的闭环极点完成了由互异 实数到共轭复数的变化，或者相反。因此，根轨迹 在实轴上的分离点可以视作系统的阶跃响应形式有 无振荡或有无超调量的分界点。 ( 1)( 5) ( ) + + = s s s K G s g 例 k 2：已知 1）绘制根轨迹，并求Kgc; 2）求阶跃响应无超调的Kg值。 解：该系统在P109例4-3和P113例4-6中已计算过
第4章根轨迹(续）闭环极点的确定其渐近线以及根轨迹与虚轴的交点：60°,k= 0Zp:-(2k+1)元(0-1-5)-0180°,k=1i=l-1P=-2-n-m3-0n-m-60°,k=-1根轨迹与虚轴的交点为±jv5，对应的临界根轨迹增益为Kc=30。该系统还在零度根轨迹的举例中计算过其分离点：Sd2 = -0.48Sa1 = -3.52按负反馈连接，应该只有sd2在根轨迹上
第4章 根轨迹 其渐近线以及根轨迹与虚轴的交点： 按负反馈连接，应该只有sd2在根轨迹上。 闭环极点的确定（续） − = − = = = − + = 6 0 , 1 180 , 1 6 0 , 0 (2 1) k k k n m k a 2 3 0 1 1 (0 1 5) 0 = − − − − − = − − = = = n m p z n i m j i j a 根轨迹与虚轴的交点为 ，对应的临界根轨迹 增益为Kgc=30 。 j 5 该系统还在零度根轨迹的举例中计算过其分离点： 3.52 0.48 sd1 = − sd 2 = −
第4章根轨迹(续）闭环极点的确定1）稳定范围：0<K<30。2）S处的Kgd:V5Kgd =-0.48×|1-0.48×5-0.48~1.13**。所以阶跃响应无02超调的K.值范围：0< K,<1.13。V5URR当然，阶跃响应有超调的K，值范围：1.13<K,<30
第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） -5 -2 -1 j 0 sd 5 − 5 1）稳定范围：0<Kg<30。 2）sd处的Kgd: 1.1 3 0.4 8 1 0.4 8 5 0.4 8 Kg d = − − − 所以阶跃响应无 超调的Kg值范围： 0< Kg<1.13。 当然，阶跃响应有超调的Kg值范围： 1.13< Kg< 30
第4章根轨迹3、根轨迹与指定阻尼线的交点在复平面上与实轴负方向的夹角为阻尼角的直线称为阻尼线。有时根据β=cos-1L，阻尼线也以指定阻尼比的形式给出。通常通过计算根轨迹与指定阻尼线的交点来确定高阶系统的闭环主导极点，从而用近似的二阶系统来估算其性能。K例 3：已知 Gk(s)=s(s +1)(0.25s +1)试用根轨迹法求取具有阻尼比=0.5的共轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能指标%和t
第4章 根轨迹 3、根轨迹与指定阻尼线的交点： 在复平面上与实轴负方向的夹角为阻尼角β的 直线称为阻尼线。有时根据β=cos-1ζ，阻尼线也 以指定阻尼比ζ的形式给出。通常通过计算根轨迹与 指定阻尼线的交点来确定高阶系统的闭环主导极点， 从而用近似的二阶系统来估算其性能。 ( 1)(0.25 1) ( ) + + = s s s K G s 例 3：已知 k 试用根轨迹法求取具有阻尼比ζ=0.5的共轭闭 环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系 统的性能指标σ%和t s
第4章根轨迹（续）闭环极点的确定K4K解: Gk(s)=s(s + 1)(s + 4)s(s + 1)(s + 4)渐近线：D60°,k= 0(2k+1)元180°,k=1n-m-60°k=-1Ep;-E(0-1-4)-0==-1.673-0n-m根轨迹的分离点：CURRENGN(s)=s3 +5s2 +4sM(s)=1,:. N (s)M(s) - N(s)M (s) = 3s2 +10s + 4 = 0
第4章 根轨迹 ① 渐近线： 闭环极点的确定（续） − = − = = = − + = 6 0 , 1 180 , 1 6 0 , 0 (2 1) k k k n m k a 1.6 7 3 0 1 1 (0 1 4) 0 = − − − − − = − − = = = n m p z n i m j i j a 解： ( 1)( 4) ( 1)( 4) 4 ( ) + + = + + = s s s K s s s K G s g k ② 根轨迹的分离点： M(s) 1, N(s) s 5s 4s 3 2 = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 0 4 0 ' ' 2 N s M s − N s M s = s + s + =