第八章向量代数与空间解析几何 特别地，当b=a时，有 a-a=a+(-a）=0. 显然，任给向量AB及点O,有 AB=A6+0B=0店-0， 因此，若把向量a与b移到同一起点O,则从a的终点A向b的终点B所引向量 AB便是向量b与a的差b-a(图8-7(b). 由三角形两边之和大于第三边，有 la+bl≤lal+lb1及1a-b1≤lal+lb1 其中等号在a与b同向或反向时成立. 2.向量与数的乘法 向量a与实数入的乘积记作Aa,规定Aa是一个向量，它的模 Iλal=I入Ilal, 它的方向当入>0时与a相同，当A<0时与a相反. 当A=0时，lAa=0,即Aa为零向量，这时它的方向可以是任意的. 特别地，当入=±1时，有 1a=a,(-1)a=-a. 向量与数的乘积符合下列运算规律： (1)结合律A(ua)=u(Aa)=(u)a 这是因为由向量与数的乘积的规定可知，向量A(ua)u(Aa)、(4)a都是 平行的向量，它们的方向也是相同的，而且 IA(ua)I lu(Aa)I=I(Au)al lAullal, 所以 A(ua)=u(Aa）=(u)a. (2)分配律 (入+u)a=Aa+ua, (1-1) A(a+b)=Aa+ab. (1-2) 这个规律同样可以按向量与数的乘积的规定来证明，这里从略了， 向量相加及数乘向量统称为向量的线性 运算 例1在平行四边形ABCD中，设AB=a, Ai=b.试用a和b表示向量M,MB,MC和M币 这里M是平行四边形对角线的交点（图8-8） 解由于平行四边形的对角线互相平分 图8-8 4
第一节向量及其线性运算 所以 a+b=AC=2Ai】 即 -(a+b)=2MA 于是 ni=-(a+b). 因为正=-i,所以正=子(a+b。 又因-a+b=B防=2Mi,所以Mi=2(b-a. 由于M店=-M心，所以W店=之(a-b). 前面已经讲过，模等于1的向量叫做单位向量.设e。表示与非零向量a同 方向的单位向量，那么按照向量与数的乘积的规定，由于Ial>0,所以1ale。与 e。的方向相同，即lale。与a的方向相同.又因1ale.的模是 lalle.l=lal·1=lal, 即lale,与a的模也相同，因此， a=lale. 我们规定，当入0时，只=大4南此，上式又可写成 这表示一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 由于向量Aa与a平行，因此我们常用向量与数的乘积来说明两个向量的平 行关系.即有 定理1设向量a≠0，则向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实 数A,使b=Aa. 证条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性. 设b∥a,取1A=治，当6与a同向时A取正值，当b与a反向时A取负 值，即有b=Aa.这是因为此时b与Aa同向，且 IAel -lallel-lalI. 再证数A的唯一性.设b=入a,又设b=ua,两式相减，便得 (A-4)a=0, ·5
第八章向量代数与空间解析几何 即1A-4l川al=0.因1al≠0，故1入-ul=0,即A=4 定理证毕. 定理1是建立数轴的理论依据.我们知道，给定一个点、一个方向及单位长 度，就确定了一条数轴.由于一个单位向量既确定 了方向，又确定了单位长度，因此，给定一个点及 一个单位向量就确定了一条数轴.设点0及单位 图8-9 向量i确定了数轴0x(图8-9)，对于轴上任一点P,对应一个向量0P,由于 O币∥1，根据定理1，必有唯一的实数x,使0币=d(实数x叫做轴上有向线段0币 的值)，并知0与实数x一一对应.于是 点P→向量O=xi一实数x, 从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系据此，定义实数x为轴上点P的坐标 由此可知，轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 Op xi. 三、空间直角坐标系 在空间取定一点0和三个两两垂直的单位向量i、了、k,就确定了三条都以 0为原点的两两垂直的数轴，依次记为：轴（横轴）以轴（纵轴）：轴（竖轴），统 称坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系，称为Ox:坐标系或[O:ij,k]坐标系 (图8-10).通常把x轴和y轴配置在水平面上，而：轴则是铅垂线：它们的正向 通常符合右手规则，即以右手握住：轴，当右手的四个手指从正向x轴以π角度 转向正向y轴时，大拇指的指向就是：轴的正向，如图8-11. 图8-10 图8-11 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为 坐标面.x轴及y轴所确定的坐标面叫做xO面，另两个由y轴及：轴和由：轴 ·6·
第一节向量及其线性运算 及x轴所确定的坐标面，分别叫做yO:面及Ox面.三个坐标面把空间分成八个 部分，每一部分叫做一个卦限.其中，在xOy面上方且yO:面前方，Ox面右方的 那个卦限叫做第一卦限，其他第二、第三、第四卦限，在xOy面的上方，按逆时 针方向确定，第五至第八卦限，在xOy面的下方，由第一卦限之下的第五卦限，】 按逆时针方向确定，这八个卦限分别用字母I、Ⅱ、Ⅲ、N、V、门、I、Ⅷ表示 (图8-12) 任给向量r,有对应点M,使O=r以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长 方体RHMK-OPNQ,如图8-13所示，有 r=0=0P+Pn+Ni=0P+00+0求. 设0p=xi,00=可，0派=k.则 r=Oi=xi+可+zk. 上式称为向量”的坐标分解式，了和水称为向量，沿三个坐标轴方向的 分向量· 图8-12 图8-13 显然，给定向量r,就确定了点M及O币，O0O尿三个分向量，进而确定了x y:三个有序数：反之，给定三个有序数xy,也就确定了向量r与点M.于是点 M向量r与三个有序数xy2之间有一一对应的关系 M→r=Oi=xi+以+zk←→(x,y,2), 据此，定义：有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz中)的坐标，记作r= （x,y,z):有序数xy,z也称为点M(在坐标系Oxyz中)的坐标，记作M(x,y,z). 向量r=Oi称为点M关于原点0的向径.上述定义表明，一个点与该点的 向径有相同的坐标.记号(x,y,z)既表示点M,又表示向量O, 坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征，例如：如果点M在y0: 面上，那么x=0:同样，在z0x面上的点，有y=0:在x0y面上的点，有：=0.如果 ·7
第八章向量代数与空间解析几何 点M在x轴上，那么y=z=0:同样，在y轴上的点，有a=x=0:在z轴上的点，有 x=y=0.如点M为原点，则x=y=z=0. 四、利用坐标作向量的线性运算 利用向量的坐标，可得向量的加法，减法以及向量与数的乘法的运算如下： 设a=(a,a,a,),b=(b,b,b),即 a=ai+a,j+ak,b=bi+b,j+bk. 利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律，有 a+b=(a,+b,)i+(a,+b,)j+(a,+b)k, a-b=(a,-b.)i+(a,-b,j+(a,-b,)k, Aa=(Aa,)i+(Aa,)j+(Aa.)k(A为实数)， 即 a+b=(a.+b,a,+b,a+b), a-b=(a,-b,a,-b,a,-b,), Aa=(Aa,Aa,Aa,）. 由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应 的数量运算就行了 定理1指出，当向量a≠0时，向量b∥a相当于b=Aa,坐标表示式为 (b,b,b）=A(a,a,a）, 这也就相当于向量b与a对应的坐标成比例 (1-3) 例2求解以向量为元的线性方程组 [5r-3y=a, 13x-2y=b 其中a=(2,1,2),b=(-1,1,-2). ①当a,a,有一个为零，例如a,=0,4,a,0,这时(1-3)式应理解为 「6=0. 当a,8,a,有两个为零，例如a,=a,=0,4,≠0，这时(1-3)式应理解为 ▣8