定理1(Chebyschevi切比雪夫大数定律) 设X是相互独立的随机变量序列，它们的方差 都存在，且有共公上界，即存在常数C,使得 DXi≤C,i=1,2,…, 则X服从大数定律.即对任意的ε>0，有 mPI会X-E名X<e)=1. Chebyschev大数定律给出了 切比雪夫，几.几 证由Chebyschev不等式， 算术平均值稳定性的科学描述 1P(28-E2X)川<e)≥1 DXi 1-a C st n2g2 ne2 任意事件的概率≤1]由极限夹逼准则知结论成立 P166推论 特别地，改方差的限定条件为：设X,独立且有相同的期望山和方差σ2， 则6>0，有四P0名X二4川<a)=L. 当n充分大时几乎 1→00 不再是随机的了 在独立和同期望、方差的条件下，个随机变量的算术 平均值当n→oo时，以概率收敛于它的期望u
它们的方差 都存在, 设 Xn 是相互独立的随机变量序列, 则 Xn 服从大数定律. 定理1(Chebyschev切比雪夫大数定律 ) )| ) 1. 1 ( 1 lim (| 1 1 n i n i i i n X n X E n P 且有共公上界, 即对任意的 > 0, 有 证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是 切比雪夫不等式 证 由Chebyschev不等式, 2 1 1 1 ) 1 ( )| ) 1 1 ( 1 (| n i n i i n i i i X n D X n X E n P 2 2 1 1 n DX n i i 2 1 n C 1, n 1 任意事件的概率 1 由极限夹逼准则知结论成立. 特别地, 改方差的限定条件为: 设Xn独立且有相同的期望 和方差 2 , 则 > 0, 有 ) 1. | 1 lim (| 1 n i i n X n P 在独立和同期望、方差的条件下, n 个随机变量的算术 平均值当 n →∞时, 以概率收敛于它的期望 . 即存在常数 C , 使得 DX i ≤ C , i =1, 2, …, 当n 充分大时几乎 不再是随机的了 Chebyschev 大数定律给出了 算术平均值稳定性的科学描述 Y Y P166推论
若定理1中的Xm服从(0一1)分布，于是有下面的定理 定理2(Bernoulli贝努利大数定律P切比雪夫大数律的特例 设4n是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p (0<p<1)是事件A发生的概率，则Vε>0，有 imP(I分-p<e)=1,或PI片-p≥e)=0. -→0 证设，=，多 i次试验A发生 第一个严格说明 0, 否则 频率稳定性的定律 则Xm独立、同分布，都服从B(1,p),且Vn, 雅各布第一·伯努利 EX=P,DX=p(1-P)=Pq≤显然4n=X1+X2+…+Xn, 由Chebyschev大数定律知，Vε>0，有imP(-pl<)=1. Bernoulliz大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A 发生的频率山，/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 在n重Bernoulli独立试验中，当试验次数n→oo时，事件A的 频率依概率收敛于事件A的概率.Bernoulliz大数定律提供了通过 试验来确定事件概率方法的理论依据，即用频率估计概率是合理的
在 n 重Bernoulli独立试验中, 当试验次数 n →∞时, 事件 A 的 频率依概率收敛于事件 A 的概率. Bernoulli大数定律提供了通过 试验来确定事件概率方法的理论依据, 设 n 是n 重贝努利试验中事件A 发生的次数, p ( 0 < p < 1) 是事件A 发生的概率, 定理2(Bernoulli贝努利大数定律 P.176) lim (| | ) 1, p n P n n 或 lim (| | ) 0. p n P n n 若定理1中的Xn 服从(0—1)分布,于是有下面的定理 证 设 ， 否则 ， 第 次试验 发生 0 1 i A Xi 则 Xn 独立、同分布, 都服从 B(1, p), 且 n , EXn p, DXn p(1 p), pq | ) 1. 1 1 lim (| 1 1 n i n i i i n EX n X n P n n p n i Xi n 1 1 切比雪夫大数律的特例 由Chebyschev大数定律知, 第一个严格说明 频率稳定性的定律 > 0, 有 ——是事件A 发生的频率 , 4 1 则 > 0, 有 n Bernoulli大数定律表明 n , 当重复试验次数 n 充分大时, lim (| | ) 1. p n P n n 显然 n X1 X2 Xn , 事件 A 发生的频率 n /n 与事件A 的概率 p 有较大偏差的概率 很小. 即用频率估计概率是合理的
独立同分布条件下大数定律的表现形式： 定理3（辛钦大数定律伯努利大数律是辛钦大数律的特例 设随机变量序列X,X,·独立且同分布，具有有限 的数学期望EX,=山，i=1,2,,则对8>0， m言X:uke)=1. 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值，提供了 辛软 一条实际可行的途径： 若视X:为重复试验中对随机变量X的 第i次观察，则当no时，对X的n次观察结果的算术平均值 以概率收敛于X的期望值EX=4.这为在不知分布的情形下， 取多次重复观测的算术平均值X作为EX的较为精确的估计提供 了理论保证. 例如，有一批产品，不知其寿命X的分布，为评价其质量，需确 定其平均寿命X,随机地从中抽取件产品并测得其寿命分别为 ,,,则可用n名x,作为EX的一个估计值，且n越大，越精确
这为在不知分布的情形下, 取多次重复观测的算术平均值 作为 EX 的较为精确的估计提供 了理论保证. X 为评价其质量, 需确 定其平均寿命 X , 具有有限 的数学期望 EXi =μ, i =1, 2, …， 则对 > 0, 设随机变量序列X1 , X2 , … 独立且同分布, 定理3(辛钦大数定律 P167) | ) 1. 1 lim (| 1 n i i n X n P 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值, 提供了 辛钦 一条实际可行的途径: 独立同分布条件下大数定律的表现形式: 伯努利大数律是辛钦大数律的特例 若视 X i 为重复试验中对随机变量 X 的 第 i 次观察, 则当 n → 时, 对X 的 n 次观察结果的算术平均值 以概率收敛于 X 的期望值 EX = . X 例如, 有一批产品, 不知其寿命X 的分布, 随机地从中抽取 n 件产品并测得其寿命分别为 , , , , x1 x2 xn 则可用 作为EX 的一个估计值, n i n xi 1 1 且n 越大, 越精确
例如要估计某地区的平均亩产量，可收割某些有代表 性的地块，例如n块.计算其平均亩产量，当n较大时， 可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计 下面我们再举一例说明大数定律的应用 定积分的概率计算法
可收割某些有代表 性的地块，例如 n 块. 计算其平均亩产量， 下面我们再举一例说明大数定律的应用 ——定积分的概率计算法 例如要估计某地区的平均亩产量， 当 n 较大时， 可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计