《高等数学》课程教学资源（习题选解）第五章 定积分

9》hd=-fhd+nad=-[x0nx--[xax-=20-之 （10由愿知：=2x-2n2,0-=0=0, soa-e-后o-raa-e.2 xsinxd=-fsinxd()=[cos(cos1-1). 13.5…m π ()ds=sintcosd 24-6…(m+)2,m为奇数 2.46…m 1-35(m+0, m为偶数 135…(m-1π2 m为偶数 ()sin"xsin"xd 2.4.6…m 2-4-6(m-r,m为大于1的奇数 135…m 8.设n[f(x)+f"(x]sinxdx=5,fm)=2,求f0). 解：因为[fx了(x)刀sin刘f关)s联”f《 ()sinxd=fsinxd[f(x)]=[f(x)sinx(x)cosxdx=-fcosxd[f(x)] =[f(x)cosx-[f(x)sinxdx=f()+f(0)-f(x)sinxdx =2+f(0)-f(x)sinxdx 所以 [fx)+f"()]sinxdx=2+f0),又[f(x+/(x)月sin=d 从而 2+f(0)=5→f(0)=3 习题5-5 1.选择题 (1)下列积分中不属于广义积分的是(). (A)fIn(+x)dx ® (c) (2)设1=0e“(a>0),则1=(). (A)0:(B)2;(C)发散：(D)- (3)下列广义积分发散的是()

11 （9）     1 1 1 1 1 1 1 ln d ln d ln d ln 1 ln 1 e e e e e e x x x x x x x x x x                     1 2(1 ) e  ； （10）由题知： 2 2 2 sin 2sin ( ) 2 x x f x x x x     ， 1 1 sin (1) d 0 t f t t    ， 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 2sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x xf x dx f x d x f x x f x dx x dx x                            1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 sin sin cos 2 2       x x dx x d x x         1 cos1 1 2  ； （11） 1 2 1 2 2 0 0 (1 ) d sin cos d m m x x x t t t            1 3 5 , 2 4 6 1 2 2 4 6 , 1 3 5 1 m m m m m m                            为奇数 为偶数 ； （12） 0 0 sin d sin d 2 m m m J x x x x x            2 1 3 5 1 , 2 4 6 2 2 4 6 1 , 1 3 5 m m m m m m                              为偶数 为大于1的奇数 8．设 0 [ ( ) ( )]sin d 5 f x f x x x      ， f ( )  2 ，求 f (0) ． 解：因为 0 0 0 [ ( ) ( )]sin d ( )sin ( )sin d f x f x x x f x xdx f x x x            而   0 0 f x xdx x f x ( )sin sin d ( )         0 f x x ( )sin    0 f x x x ( )cos d       0 cos d ( ) x f x     0 0 f x x f x x x ( )cos ( )sin d        f f ( ) (0)  0 f x x x ( )sin d    2 (0) f 0 f x x x ( )sin d   所以 0 [ ( ) ( )]sin d 2 (0) f x f x x x f       ，又 0 [ ( ) ( )]sin d 5 f x f x x x      从而 2 (0) 5    f f (0) 3  习题 5-5 1．选择题 （1）下列积分中不属于广义积分的是（ ）． （A） 0 ln(1 )d x x    ； （B）   4 2 2 1 d x x ； （C）  1 1 2 d 1 x x ； （D）   0 3 d 1 1 x x ． （2）设 0 e d ( 0) ax I x a      ，则 I  （ ）． （A） 0 ； （B） 1 a ； （C）发散； （D） 1 a  ． （3）下列广义积分发散的是（ ）．

广：Bew:(cm:D)d. 解《D因为积分矿”为定积分，所以应选® 2)因为1-广g=日e女所以应选B )因为广-l.广ea=e=1广[品日 而」sinxdx=。"sinxdx+∫sin xdx,但是sind=lm仁cos)-1不存在，所以应选(C) 2.判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，计算广义积分的值 ④eFd (5) dx (6)e-asniad: 典 ( 爆广2 a12-+=:可现t广义分发 o地=[ (4)令√F=t,则dk=21d，于是有 ca=2wt=[-2u+=-2me++2=-2e2=2 s1t*0-eaI- d=-d-[女co3y-号k 12

12 （A）   1 2 d 1 x x ； （B）  0 e dx x ； （C） sin dx x   ； （D）   e x x x d ln 1 2 ． 解：（1）因为积分   4 2 2 1 d x x 为 定积分，所以应选（B）； （2）因为 0 0 1 1 e d e ax ax I x a a                ，所以应选（B）； （3）因为 2 1 1 1 1 d 1 x x x             ， 0 0 e d e 1 x x x          ， 2 1 1 1 d e ln ln e x x x x e             ， 而 0 0 sin d sin d sin d x x x x x x          ，但是   0 sin d lim cos 1 x x x x       不存在 ，所以应选（C） 2．判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，计算广义积分的值 （1） 3 1 1 dx x   ； （2） 2 1 d 1 x x x    ； （3）    0 e d 2 x x x ； （4） 0 d x e x    ； （5） 2 d 2 2 x x x      ； （6）    0 2 e sin3xdx x ； （7）   2 1 1 d x x x ； （8）   2 0 2 (1 ) d x x ； （9） 2 1 2 1 d 1 x x   ； （10）   1 0 2 1 d x x x ． 解： （1） 3 2 1 1 1 1 1 d 2 2 x x x             ； （2） 2 2 1 1 1 d ln(1 ) 1 2 x x x x               ；可见此广义积分发散； （3） 2 2 0 0 1 1 e d e 2 2 x x x x               ； （4）令 x t  ，则 dx tdt  2 ，于是有 0 0 0 1 d 2 d 2 ( 1) 2 lim ( 1) 2 2 lim 2 2 x t t t t t t e x te x e t e t e                            ； （5）       2 2 d 1 d 1 arctan 1 2 2 1 1 x x x x x x                       ； （6） 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 2 e sin3 d e d cos3 e cos3 e cos3 d 3 3 3 x x x x x x x x x x                      