《高等数学》课程教学资源（习题选解）第五章 定积分

(1)F(x)22: (2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根. 证明：①)F)=+高之22，ea.创 （2)由题知在a1上连续，又F-0t+=-0<0, F0=0a:0-广0d>0,由零点定理知方起F=-0在区间a内至少有一个根，又由（D 的结论知F(x)在[a,b]上单调增加，故方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根. 习题5-4 1.选择题： (1)设函数fx)在-aa上连续，则，fxd恒等于()， (A)2dx:(B)o:(C)[Lf(x)+f(-x)dx:(D)[Lf(x)-f(-x)ldx (2)设函数f)是连续函数，且1=fx灿，其中1≠0，则1()。 (A)依赖于s与1：(B)依赖于s,不依赖于t:(C)依赖于1，不依赖于s:(D)不依赖于s与t. (3)设I=∫Dsin(cosx)dr,则(). (A)I=1: (B)I<0: (c)0<I<1: (D)1=0. 解：(1)应选(C),因为∫，fx)dr=∫心f(x)dr+心fxd, 又∫fx)d含x=-0f-)d(-）=f-x)dr,所以f)=gfx)+f-xr: 2)应滤(B).因为1=few令=：1u-fot: (3)应选(D),因为I=sin((cos x)dx=元+'sin eos(1+列H(1+列 =”sin(-cos)d=-Jsin(cos0d=-,所以21=0→I=0. 2.计算下列定积分： 1 (1) dx dx: JΞsin2xcos2x 201+5 (3)sin'x-sin'xdx: feae (5)」 (6)(2-x)d: ) dx: xv1+Inx 6

6 （1） F (x)  2 ； （2） 方程 F(x)  0 在区间 (a, b) 内有且仅有一个根． 证明：（1） 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) F x f x f x f x f x       ， x [a, b] （ 2 ） 由题知 F x( ) 在 [a, b] 上连续 ， 又 1 1 ( ) ( )d d d 0 ( ) ( ) a a b a b a F a f t t t t f t f t         ， 1 ( ) ( )d d ( )d 0 ( ) b b b a b a F b f t t t f t t f t        ，由零点定理知方程 F(x)  0 在区间 (a, b) 内至少有一个根，又由（1） 的结论知 F x( ) 在 [a, b] 上单调增加，故方程 F(x)  0 在区间 (a, b) 内有且仅有一个根． 习题 5-4 1． 选择题： （1）设函数 f x( ) 在 [ , ] a a 上连续，则  a a f (x)dx 恒等于（ ）． （A）  a f x x 0 2 ( )d ； （B） 0 ； （C） 0 [ ( ) ( )]d a f x f x x    ；（D） 0 [ ( ) ( )]d a f x f x x    ． （2）设函数 f (x) 是连续函数，且   s t I t f tx x 0 ( )d ，其中 t  0 ，则 I （ ）． （A）依赖于 s 与 t ；（B）依赖于 s ，不依赖于 t ；（C）依赖于 t ，不依赖于 s ；（D）不依赖于 s 与 t ． （3）设 0 I x x sin(cos )d    ，则（ ）． （A） I 1 ； （B） I  0 ； （C） 0 1  I ； （D） I  0． 解：（1）应选 ( ) C ，因为 0 0 ( )d ( )d ( )d a a a a f x x f x x f x x        ， 又   0 0 0 ( )d ( )d ( )d a a a f x x x t f t t f x x             令 ，所以 ( )d a a f x x    0 [ ( ) ( )]d a f x f x x    ； （2）应选 ( ) B ，因为 0 0 0 ( )d ( )d = ( )d s t s s u I t f tx x u tx t f u f u u t            令 ； （3）应选 ( ) D ，因为   0 0 I x x x t t t sin(cos )d sin cos( ) d( )             令 ，． 0 0 sin( cos )d sin(cos )d t t t t I           ，所以 2 0 0 I I    ． 2．计算下列定积分： （1） 3 2 2 4 1 d sin cos x x x   ； （2） 1 3 2 d (11 5 ) x x    ； （3） 3 5 0 sin sin d x x x    ； （4） ln 2 2 0 e (1 e ) x x  dx  ； （5） 4 1 d 1 x  x  ； （6） 2 5 2 1 (2 ) d  x x  ； （7）   2 1 1 ln e d x x x ； （8）   2 2 2 8 2x dx ；

o2 （0)cos.cos2xdr: alDJ,V-ear. (12) x _dx 0(1+x2 (14) -1dx 3 emoa1soa0+50-ou4syr1-0 (3)isinsinin xcosin co -wucw-wtwc- we0+e旷=a+errdte)-o+eyT-9 x4-=2可旷-0*0=2-+pf-2-子 o2-as=-fe-ae--3-灯-月 nf0-hjia0h=2r可-26- (8)J68-2rdx=28-2rdk全x=2snl=28-8sm7d2sin）=8wW万csd -+ow2=a+os2a0e-[径+m2n月]-x+2: o42+-m+l-号 oowos2ad=gowxa2t-far+ot-传x+m- 令=e=1,-=，当x=0时，1=0：当x-h2时，1=5 ,则 e--jt-92- 1

7 （9）    0 2 2 2 2 d x x x ； （10） 2 2 cos cos 2 d x x x    ； （11） ln 2 2 0 1 e dx x    ； （12）   2 1 2 0 2 d 1 x x  x  ； （13） 1 0 1 d x x x e e    ； （14） 2 2 1 1 d x x x   ． 解：（1）     3 3 3 2 3 2 2 2 4 4 4 4 1 1 2 3 d 4 d 2 csc 2 d 2 2 cot 2 sin cos sin 2 3 x x x x x x x x                 ； （2）   1 1 1 3 2 3 2 2 2 d 1 1 51 (11 5 ) d 11 5 (11 5 ) (11 5 ) 5 10 512 x x x x x                    ； （3） 3 3 3 5 3 2 2 2 0 0 0 2 sin sin d sin cos d sin cos d sin cos d x x x x x x x x x x x x                  3 3 5 5 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 4 sin d sin sin d sin sin sin 5 5 5 x x x x x x                          ； （4）   ln 2 ln 2 ln 2 2 2 3 0 0 0 1 19 e (1 e ) (1 e ) 1+e (1 e ) 3 3 x x x x x       dx d       ； （5） 4 1 d 1 x  x  2 令x t      2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 d 1 1 1 3 2 d 2 d 1 2 ln(1 ) 2 ln 1 1 1 2 t t t t dt t t t t t                   ； （6）   2 2 2 5 5 7 2 2 2 1 1 1 2 2 (2 ) d (2 ) d 2 (2 ) 7 7 x x x x x                  ； （7）       2 2 1 2 2 1 1 1 d 1 ln d 1 ln 2 1 ln 2 3 1 1 ln e e x e x x x x x                ； （8） 2 2 2 2 2 0 8 2 d 2 8 2 d x x x x       令x t  2sin   4 2 0 2 8 8sin d 2sin t t     4 2 0 8 2 cos tdt            4 4 4 4 0 0 0 0 1 1 2 1 cos 2 4 2 cos 2 2 4 2 sin 2 2 2 2 4 2 t dt dt td t t                              ； （9）       0 0 0 2 2 2 2 2 d 1 d 1 arctan( 1) 2 2 2 1 1 x x x x x x                ； （10）   2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 cos cos 2 d 2 cos cos 2 d cos3 cos d sin 3 sin 3 3 x x x x x x x x x x x                      ； （11）令 2 1 e x   t ， 1 2 ln(1 ) 2 x t   ， 2 1 t dx dt t    ，当 x  0 时， t  0 ；当 x  ln 2 时， 3 2 t  ，则 3 3 ln 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 e d d 1 d 1 1 x t x t t t t t                   3 2 0 1 1 ln 2 1 t t t            3 ln(2 3) 2   ；

(12)令x=tant,d=sec2tdl,当x=0时，t=0:当x=1时，t= ，则 可--a-0w2a-6f-行- ()[arctan(e)aretane (14)令x=sec1,k=sec1tan1d,当x=1时，1=0：当x=2时，1=T,则 3 -黑xem--e-t-a--5-号 3.利用函数的奇偶性计算下列定积分： (1)sinxdx: (2)4cosdx 8月 (4) sin'x d J-5x4+2x2+1 解： (1)因为sinx为奇函数，所以xsinxdx=0: 2)且4cos0ur=4-2后4eos0ux=83x1g=3n 4×222 √-x2 (4)因为+2x+1 为sinx为奇函数，所以加xdk=0. 4.证明下列各题： (1)a-x)=x1-x: 2)sm”d=2snd: （3)c=x达，英中/a为连续属数： (4)0a山--et,其中a0为连续函数。 证：(1)令x=1-1,则dr=-d1,当x=0时，1=1；当x=1时，t=0,于是有 Sx"(-xdx="(-t)"r(-dr)=fr"Q-t)"dr=fx"(-x)"dx (2)sin"d sin"sin" 而了 six过氢=4snra-小dr-小-月smi=原m'h

8 （12）令 x t  tan ， 2 dx tdt  sec ，当 x  0 时， t  0 ；当 x 1 时， 4 t   ，则     2 2 1 4 4 4 4 2 2 2 4 0 0 0 0 2 0 tan 1 1 d sec sin 1 cos 2 sin 2 sec 2 2 4 1 x t t x tdt tdt x dt t t x                        1 ( 1) 4 2   ； （13）     1 1 1 2 0 0 0 1 1 d d arctan arctan 1 4 x x x x x x e e e e e e               ； （14）令 x t  sec ， dx t tdt  sec tan ，当 x 1 时， t  0 ；当 x  2 时， 3 t   ，则   2 2 3 3 3 2 2 3 0 1 0 0 0 1 tan d sec tan d tan d (sec 1)d tan sec x t x t t t t t t t t t x t                  3 3   ． 3．利用函数的奇偶性计算下列定积分： （1） 8 x x x sin d   ； （2） 2 4 2 4cos dx      ； （3） 1 2 2 1 2 2 (arcsin ) d 1 x x x    ； （4） 3 2 5 4 2 5 sin 2 1 x x dx x x     ． 解： （1）因为 8 x x sin 为奇函数，所以 8 x x x sin d 0     ； （2） 2 2 4 4 0 2 3 1 3 4cos d 4 2 4cos d 8 4 2 2 2 x x                   ； （3） 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 1 2 2 0 0 0 2 (arcsin ) (arcsin ) 2 d 2 d 2 (arcsin ) d(arcsin ) (arcsin ) 1 1 3 x x x x x x x x x               3 324  ； （4）因为 3 2 4 2 sin 2 1 x x x x   为奇函数，所以 3 2 5 4 2 5 sin 0 2 1 x x dx x x      ． 4．证明下列各题： （1）      1 0 1 0 x (1 x) dx x (1 x) dx m n n m ； （2）    2 0 0 sin d 2 sin d   x x x x n n ； （3） 2 3 2 0 0 1 ( )d ( )d 2 a a x f x x xf x x    ，其中 f u( ) 为连续函数； （4）            1 0 1 0 0 f (t)dt dx (1 x) f (x)dx x ，其中 f u( ) 为连续函数． 证：（1）令 x t  1 ，则 dx dt   ，当 x  0 时， t 1 ；当 x 1 时， t  0 ，于是有   1 0 1 1 0 1 0 0 (1 ) d (1 ) d (1 ) d (1 ) d m n m n n m n m x x x t t t t t t x x x             （2） 2 0 0 2 sin d sin d sin d n n n x x x x x x          而 2 sin d n x x   令x t        0 2 2 0 0 2 sin sin sin n n n t d t tdt xdx            

故 sin”t=2sin”xd （3》1=,则达=，当x=0时1=0：当x=a时，1=0，于是有 xfet=oa-t r)xrr)- -f(x)dx-()dx=(1-x)f(x)dx 5.设fx)为连续函数，又F(y)=), 证明：(1)若f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数. (2)若f(x)为偶函数，则F(x)为奇函数。 证：(1)已知f(-x)=-f(x), 因为F(-x)=f)令1=-uf(-wWd(-0=-f-u0)du=fw)du=F(x), 所以F(x)为偶函数. (2)己知f(-x)=f(x), 因为F(-x)='f0)d令1=-wjf-wd(-w=-f0)du=-0fudu=-Fx, 所以F(x)为奇函数. 6.设fx)=广ed,求f)的极值及它的图形的拐点. 解：f(x)的定义域为(-o,+o),f"(x)=xe,∫"(x)=(（1-x)e,令f'(x)=xe-0,得驻点为 x=0,令f"(x)=(（1-)e=0,得x=1,注意到∫"0)=1>0，从而f0)=e'd=0为f极 小值：又当x<1时，f"(x)>0:当x>1时，∫"(x)<0,f0=∫e'd=[e(-1-1)]=1-2e, 故(1,1-2e)为曲线y=f(x)的拐点. 7.计算下列定积分： (1)[xcos3xdx: (2): (4)0in1+x2)d (5) (6)arctan2xd: 9

9 故    2 0 0 sin d 2 sin d   x x x x n n （3）令 2 t x  ，则 1 2 xdx dt  ，当 x  0 时， t  0 ；当 x a  时， 2 t a  ，于是有 2 2 3 2 0 0 0 1 1 ( )d ( )d ( )d 2 2 a a a x f x x tf t t xf x x      （4）       1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )d d ( )d d ( )d ( )d ( )d x x x f t t x x f t t x f t t f t t xf x x                  1 1 1 0 0 0     f x x xf x x x f x x ( )d ( )d (1 ) ( )d    5．设 f x( ) 为连续函数，又 0 ( ) ( )d x F x f t t   ， 证明：(1) 若 f x( ) 为奇函数，则 F x( ) 为偶函数． (2) 若 f x( ) 为偶函数，则 F x( ) 为奇函数． 证：(1) 已知 f x f x ( ) ( )    ， 因为 0 0 0 0 ( ) ( )d ( )d( ) ( )d ( )d ( ) x x x x F x f t t t u f u u f u u f u u F x                 令 ， 所以 F x( ) 为偶函数． (2) 已知 f x f x ( ) ( )   ， 因为 0 0 0 0 ( ) ( )d ( )d( ) ( )d ( )d ( ) x x x x F x f t t t u f u u f u u f u u F x                  令 ， 所以 F x( ) 为奇函数． 6．设 f x t t x t ( ) e d 0   ，求 f x( ) 的极值及它的图形的拐点． 解： f x( ) 的定义域为 ( , )   ， ( ) e x f x x    ， ( ) 1 e   x f x x     ，令 ( ) e 0 x f x x     ，得驻点为 x  0 ，令 ( ) 1 e 0   x f x x      ，得 x 1 ，注意到 f (0) 1 0   ，从而 0 0 (0) e d 0 t f t t     为 f x( ) 极 小值；又当 x 1 时 ， f x ( ) 0  ；当 x 1 时 ， f x ( ) 0  ， 1 1 1 0 0 (1) e d e ( 1) 1 2 t t f t t t e               ， 故 1 (1,1 2 ) e   为曲线 y f x  ( ) 的拐点． 7．计算下列定积分： （1） 2 0 x x x cos3 d   ； （2） 1 2 0 e dx x x  ； （3） 3 1 ln d e x x x  ； （4） 1 2 0 ln(1 )d  x x  （5）  2 0 2 e cos d  x x x ； （6） 1 2 0 arctan 2 dx x  ；

(7)1=∫sin(nx)dr: (8)∫(xsinx')dr: (9)x: (10)c地，其中f=广g:（)0-x)d(m为自然数： (12)Jm=xsin"xdr(m为自然数). 解.月own=写月d6 (in3)n3听-ma名+as明-君 2)e-ae）e2-小ea]-e--e+: o=-n对时-g 立+咖品这 (4)n0+fw-[n0+r--n2-2s=h2-2g-mm或=h2-2+经： (5)cos=d(sin)sinxsind(cos.) -e+2fed(cosx)=e+2[ecosx-cos.xdx-e"-2-4fcos.xdr 移项，得 co2) ooat-m2或-产e-香he) -g-r0*)营-n-君-2 (7in(In.)dx-xsin(n.)xc(n)desin1-cos(.)dx -esin1-[xcos(Inxsin(in x).dx=e(sin1-cos1)+1-['sin(Inx)dx 移项，得 1sin(In )d(esinl-ccos1+) ⑧)(esn时旷srl-eo2xt-[g-Hrd6sm2d =看-0en2-2sn2个]石-ds2r -若-lam2或-os2]-君-子+tm2-号-异 0

10 （7）   1 sin ln d e I x x   ； （8）   2 0 x x x sin d   ； （9） 1 ln d e e x x  ； （10） 1 0 xf x x ( )d  ，其中 2 1 sin ( ) d x t f x t t   ； （11） 1 2 2 0 (1- ) d m x x  （ m 为自然数）； （12） 0 sin d m m J x x x    （ m 为自然数）． 解：（1）       2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 cos3 d d sin 3 sin 3 sin 3 d cos3 3 3 6 9 6 9 x x x x x x x x x x                          ； （2）     2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 e d d e e d e 2 2 2 4 x x x x x e x x x xe x                    1 2 ( 1) 4 e  ； （3）   3 2 2 2 1 1 1 1 ln 1 1 1 ln 1 d ln d d ln 2 2 e e e e x x x x x x x x x                       2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 d 2 2 2 4 e e x e x e x               2 1 3 4 4e  ； （ 4 ）   2 1 1 1 1 1 2 2 0 2 2 0 0 0 0 2 1 1 ln(1 )d ln(1 ) d ln 2 2 d ln 2 2 arctan 1 1 x x x x x x x x x x x x x                       ln 2 2 2    ； （5）     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 e cos d e d sin e sin 2 e sin d 2 e d cos x x x x x x x x x x x e x                      2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 e d cos 2 e cos 4 e cos d 2 4 e cos d x x x x e x e x x x e x x                       移项，得 2 2 0 e cos d x x x    1 ( 2) 5 e   （6）       1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 0 2 1 1 arctan 2 d arctan 2 d d 1+4 1 2 8 4 1 4 x x x x x x x x x                1 1 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 d 1+4 ln 1+4 8 4 1 4 8 4 x x x              1 ln 2 8 4   ； （7）         1 1 1 1 1 sin ln d sin ln cos ln d sin1 cos ln d e e e e I x x x x x x x e x x x                     1 1 1 1 sin1 cos ln sin ln d (sin1 cos1) 1 sin ln d e e e e x x x x x e x x x                移项，得   1 sin ln d e I x x   = 1 (esin1 ecos1 1) 2   （8）     3 2 2 2 0 0 0 0 1 1 sin d (1 cos2 )d d sin2 2 6 4 x x x x x x x x x                    3 3 2 0 0 0 1 1 sin2 2 sin2 d dcos2 6 4 6 4 x x x x x x x                       3 3 3 0 0 0 1 1 cos2 cos 2 d sin 2 6 4 6 4 8 6 4 x x x x x                        ；