§22外测度与测度的延拓 教学目的本节讨论如何将环上的测度延拓到生成的G-代数上 去.这是定义测度常用的方法.下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue测 度 本节要点本节所述测度的延拓过程思路较复杂,论证较繁难.应注意 讲清主要思路,定理的证明应注意交代主要思想 一般说来,要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度,往往并非 易事.设?是一个环,σ()是由生成的σ-代数.一般情况下,σ()要比大得多 显然,在上定义一个测度要比直接在σ()定义容易.因此,如果我们要在G()定义 个满足某些特定条件的测度,我们可以先在上定义这个测度,然后再设法延拓到 σ(R)上去.本节将证明,若μ是定义在环R上的测度,则总可以延拓到一个包含 σ()的σ-代数上去.利用测度的延拓定理,许多重要的测度可以用这种方法构造出来 本节仍设X是一固定的非空集,(X)是X的全体子集所成的集类 外测度设C是一个非空集类,A∈X.若{An}是C中的有限或无穷序列,使得 Ac∪A(或A∈∪A)则称{4n}是A的一个C覆盖由于有限并总可以写成可数并 (只要令A,=A4(n>k)则UA2=UA)因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖 设H是环上的测度.对每个AX,令 4)=inf2(A):{An}是A的覆盖 若A无覆盖,则令'(A)=+∞.这样定义的4是定义在(X)上的非负值集函数.称 为由4导出的外测度 定理1设H是环上的测度.4为由4导出的外测度则'满足 (i).4'(②)=0. (i)单调性:若ACB,则*(A)≤(B)
43 §2.2 外测度与测度的延拓 教学目的 本节讨论如何将环 R 上的测度延拓到 R 生成的σ -代数上 去. 这是定义测度常用的方法. 下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue 测 度. 本节要点 本节所述测度的延拓过程思路较复杂, 论证较繁难. 应注意 讲清主要思路, 定理的证明应注意交代主要思想. 一般说来, 要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度, 往往并非 易事. 设R 是一个环, σ (R ) 是由R 生成的σ -代数. 一般情况下, σ (R ) 要比R 大得多. 显然, 在R 上定义一个测度要比直接在σ (R ) 定义容易. 因此, 如果我们要在σ (R ) 定义 一个满足某些特定条件的测度, 我们可以先在 R 上定义这个测度, 然后再设法延拓到 σ (R ) 上去. 本节将证明, 若 µ 是定义在环 R 上的测度, 则 µ 总可以延拓到一个包含 σ (R ) 的σ -代数上去. 利用测度的延拓定理, 许多重要的测度可以用这种方法构造出来. 本节仍设 X 是一固定的非空集,P (X ) 是 X 的全体子集所成的集类. 外测度 设C 是一个非空集类, A ⊂ X. 若{ } An 是C 中的有限或无穷序列, 使得 ∪ k n A An =1 ⊂ (或 ∪ ∞ = ⊂ n 1 A An ), 则称{ } An 是 A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以写成可数并 (只要令 A A (n k), n = k > 则∪ ∪ ∞ = = = 1 n 1 n k n An A ). 因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖. 设 µ 是环R 上的测度. 对每个 A ⊂ X , 令 ( ) inf{ ( ) :{ } }. 1 A A An 是A的R 覆盖 n ∑ n ∞ = ∗ µ = µ 若 A 无R 覆盖, 则令 ( ) = +∞. ∗ µ A 这样定义的 ∗ µ 是定义在P (X ) 上的非负值集函数. 称 ∗ µ 为由 µ 导出的外测度. 定理 1 设 µ 是环R 上的测度. ∗ µ 为由 µ 导出的外测度. 则 ∗ µ 满足: (i). (∅) = 0. ∗ µ (ii).单调性: 若 A ⊂ B, 则µ ∗ (A) ≤ (B). ∗ µ
(i.次可数可加性:对x中的任意一列集{An}成立 (U4)≤∑A(An) (1) 证明由于{∞}是空集的一个覆盖,故'()≤()=0.因此r()=0 设AcB,则B的每个覆盖也是A的R覆盖这蕴涵'(A)≤'(B).下面证明具 有次可数可加性.设{An}是X的一列子集不妨设'(An)<+∞,n≥1(否则1)显然成立) 现在任意给定E>0.由'的定义,对每个n21,存在A的一个覆盖Cnkk,使得 ∑(Cn)≤(4)+5 由于{Cnk,n,k≥1是UA,的一个R覆盖,由(2)得到 (U4)≤∑∑(Cn)≤∑(4)+5)=∑(,)+E 由于6>0是任意的,因此得到r(U4)≤∑(A4)即具有次可数可加性■ 可测集由导出的外测度定义在X的全体子集所成的集类上.但H'的定义域太 大,一般不满足可数可加性.因而一般不是测度.下面将证明,可以通过适当的限制条件挑 选出一部分集即所谓“可测集”,这些集构成一个σ一代数.将μ'限制在这个σ一代数上, '满足可数可加性,因而成为一个测度.而且这个a一代数一般要比的定义域R要大, 于是就扩大了原来测度的定义域 定义2设是环R上的测度,'是由导出的外测度,又设EcX.若对任意 AcX,均有 (A)=(A∩E)+'(A∩E (3) (图2-1)则称E是可测集可测集的全体所成的集类记为R A∩E
44 (iii).次可数可加性: 对 X 中的任意一列集{ } An 成立 ( ) ( ). 1 1 n n n An ∑ A ∞ = ∗ ∞ = ∗ µ ∪ ≤ µ (1) 证明 由于{∅}是空集 ∅ 的一个 R 覆盖, 故 (∅) ≤ (∅) = 0. ∗ µ µ 因此 (∅) = 0. ∗ µ 设 A ⊂ B, 则 B 的每个R 覆盖也是 A 的R 覆盖. 这蕴涵 (A) (B). ∗ ∗ µ ≤ µ 下面证明 ∗ µ 具 有次可数可加性. 设{ } An 是 X 的一列子集. 不妨设 ( ) < +∞, ≥ 1 ∗ µ An n (否则(1)显然成立). 现在任意给定ε > 0. 由 ∗ µ 的定义, 对每个 n ≥ 1, 存在 An 的一个R 覆盖{ } , Cn,k k≥1 使得 ( ) ( ) . 1 , n n k Cn k A 2 ∑ ≤ + ∞ = ∗ ε µ µ (2) 由于{ , , 1} Cn,k n k ≥ 是∪ ∞ n=1 An 的一个R 覆盖, 由(2)得到 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . 1 1 1 , 1 1 µ ε ε µ µ µ = + 2 ≤ ∑∑ ≤ ∑ + ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ n n n n n n n k n k ∪An C A A 由于ε > 0是任意的, 因此得到 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ n n n µ ∪An µ A 即 ∗ µ 具有次可数可加性.■ 可测集 由 µ 导出的外测度 ∗ µ 定义在 X 的全体子集所成的集类上. 但 ∗ µ 的定义域太 大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通过适当的限制条件挑 选出一部分集即所谓“可测集”， 这些集构成一个σ−代数 . 将 ∗ µ 限制在这个σ−代数 上, ∗ µ 满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这个σ−代数 一般要比 µ 的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域. 定义 2 设 µ 是环 R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 又设 E ⊂ X. 若对任意 A ⊂ X , 均有 ( ) ( ) ( ). c A = A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (3) ( 图 2—1)则称 E 是 ∗ µ -可测集. ∗ µ -可测集的全体所成的集类记为 . ∗ R A E C A∩ E A∩ E
图2—1 等式(3)称为 Caratheodory条件(简称为卡氏条件)由于外测度’具有次可数可加性, 因此对任意AcX成立 '(A4)='(A∩E)∪(A∩E)≤'(A∩E)+'(A∩E) 所以(3)式等价于 (A)≥4'(AnE)+'(A∩E) 因此集E是可测的当且仅当对任意AcX,(4)式成立又由于当'(A)=+∞时(4)总 是成立的,因此若对任意AcX,当(A)<+∞时(4)式成立,则E是可测的 显然,空集和全空间X是4-可测集.又由的单调性和(4)可以看出若 (E)=0,则E是-可测集 思考题证明:集E是μ可测集当且仅当对任意AcE和BcE成立 (A∪B)=4'(A)+'(B) 引理3设E1,…,En是互不相交的可测集则对任意ACX,成立 (An(E,)=∑A(A∩E) 证明用数学归纳法.当n=1时(5)显然成立.假定(5)对n=k时成立因为E1…,En 是互不相交的.所以 A(UE)∩EA=A∩E (UE)∩E=A(UE 于是由E1的可测性和归纳法假设,我们有 A UE=F NEK+++uAnUE ER+ u' (An ER+)+F AnlUE =∑'(A∩E) 因此当n=k+1时(5)式成立.因此(5)对任意n成立■ 定理4设是环上的测度,是由导出的外测度.是-可测集的全体所 成的集类则有 (1).是σ-代数 (i).限制在是上是一个测度
45 图 2—1 等式(3)称为 Caratheodory 条件(简称为卡氏条件). 由于外测度 ∗ µ 具有次可数可加性, 因此对任意 A ⊂ X 成立 ( ) (( ) ( )) ( ) ( ). c c A = A∩ E ∪ A ∩ E ≤ A ∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ 所以(3)式等价于 ( ) ( ) ( ). c A ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (4) 因此集 E 是 ∗ µ -可测的当且仅当对任意 A ⊂ X , (4)式成立. 又由于当 = +∞ ∗ µ (A) 时(4)总 是成立的, 因此若对任意 A ⊂ X, 当 < +∞ ∗ µ (A) 时(4)式成立, 则 E 是 ∗ µ -可测的. 显然, 空集 ∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 又由 ∗ µ 的单调性和(4)可以看出若 ( ) = 0, ∗ µ E 则 E 是 ∗ µ -可测集. 思考题 证明:集 E 是 ∗ µ -可测集当且仅当对任意 A ⊂ E 和 C B ⊂ E 成立 (A B) (A) (B). ∗ ∗ ∗ µ ∪ = µ + µ 引理 3 设 E En , , 1 " 是互不相交的 ∗ µ -可测集. 则对任意 A ⊂ X , 成立 ( ( )) ( ). 1 1 i n i n i A∩ Ei = ∑ A ∩ E = ∗ = ∗ µ ∪ µ (5) 证明 用数学归纳法. 当 n = 1时(5)显然成立. 假定(5)对 n = k 时成立. 因为 E En , , 1 " 是互不相交的. 所以 ( ) ( ). ( ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 ∪ ∪ ∪ k i i c k k i i k k k i i A E E A E A E E A E = + + = + + + = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ = ∩ 于是由 Ek+1 的 ∗ µ -可测性和归纳法假设, 我们有 11 1 1 1 11 1 1 1 1 1 () . ( ). kk k c i ik ik ii i k k i i k i i A E A EE A EE AE A E A E µµ µ µ µ µ ++ + ∗∗ ∗ + + == = ∗ ∗ + = + ∗ = ∩ = ∩ ∩ ++ ∩ ∩ =∩+∩ = ∩ ∑ ∪∪ ∪ ∪ 因此当 n = k +1时(5)式成立. 因此(5)对任意 n 成立.■ 定理 4 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -可测集的全体所 成的集类. 则有 (i). ∗ R 是σ -代数. (ii). ∗ µ 限制在是 ∗ R 上是一个测度
证明(i)先证明是一个代数.由于空集必和全空间X是μ'可测集故”非空 由可测集的定义立即可以看出若E是-可测的,则E也是山-可测的,因此R”对 余运算封闭.往证”对有限并的封闭性,设E1,E2∈”.令E=E1∪E2,注意到 E=E1∪(E∩E2),利用E1和E2的可测性,对任意AcX,我们有 p'(AnE)+(A∩E) ≤['(AnE1)+(A∩E∩E2)+p(A∩E∩E2) F(An ED+LA((AnEONE)+A((An ES)nE2] =1(AnE1)+p'(A∩E)=(A) A∩EC=A∩E∩E2 AOe E∩E2 E2 图 (参见图2-2)即E满足卡氏条件(4)式这表明E=E1∪E2∈,因此是一个代数 为证是一个σ-代数,只需再证明咒”对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第 20题)设{En}∈R,并且E,∩E,=(i≠令E=UE,由于”是代数,故 UE,∈,n≥1.利用引理223,对任意ACX,我们有 (4)=|4UE|+|4(UE ≥川14UE+(AnE) ∑(A∩E,)+'(A∩E
46 证明 (i).先证明 ∗ R 是一个代数. 由于空集∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 故 ∗ R 非空. 由 ∗ µ -可测集的定义立即可以看出若 E 是 µ∗ −可测的, 则 c E 也是 ∗ µ -可测的, 因此 ∗ R 对 余运算封闭. 往证 ∗ R 对有限并的封闭性. 设 E1 , E2 ∈ ∗ R . 令 E = E1 ∪ E2 .注意到 ( ) E E1 E1 E2 c = ∪ ∩ , 利用 E1 和E2 的可测性, 对任意 A ⊂ X , 我们有 1 12 12 1 12 12 1 1 ( )( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ (( ) ) (( ) )] ( ) ( ) () c c cc c cc c AE AE AE AE E AE E AE AE E AE E AE AE A µ µ µµ µ µµ µ µµ µ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∩+ ∩ ≤ ∩ + ∩∩ + ∩∩ = ∩+ ∩ ∩+ ∩ ∩ = ∩+ ∩ = 图 2—2 (参见图 2—2)即 E 满足卡氏条件(4)式. 这表明 E = E1 ∪ E2 ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 是一个代数. 为证 ∗ R 是一个σ -代数, 只需再证明 ∗ R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第 20 题). 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 令 . 1 ∪ ∞ = = n E En 由于 ∗ R 是代数, 故 ∈ = ∪ n i Ei 1 ∗ R , n ≥ 1. 利用引理 2.2.3, 对任意 A ⊂ X , 我们有 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 c n i i c n i i c n i i n i i A E A E A E A E A A E A E = ∩ + ∩ + ∩ ≥ ∩ + ∩ = ∩ ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ∗ = ∗ ∗ ∑µ µ µ µ µ µ µ ∪ ∪ ∪ (6) A E1 E2 1 2 C CC A∩ =∩ ∩ E AE E A ∩ E1 A E1 E2 C ∩ ∩
(6)式对任意n都成立.在(6)中令n→>∞,并利用外测度的次可数可加性,得到 A)≥∑(AE)+(AE)≥'(A∩E)+'(A∩E) 上式表明E满足卡氏条件4试因此E=UEn∈R,这就证明了是a代数 (i)为证4是上的测度,只需证明在R”上是可数可加的设{En}cR”,并 且E,∩E,=(≠八)由外测度的次可数可加性,我们有(UE)≤∑(E)另 方面,在(5)中令A=X得到 ∑'(E1)=(UE)≤(U∪E) 上式中令n→∞,得到 (E)≤(UE) 因此 (UE,)=∑(E) 即'在”上是可数可加的所以是上的测度■ 注1从定理4的证明可以看出,定理4的结论()和(i)并不依赖于环上的测度p 只用到了定理1中'所满足的性质.因此,我们可以定义任何满足定理1中的(1),(i)和 (i)的集函数A为外测度,然后和定义2一样定义’可测集则定理4的结论对这样定义 的一般的外测度仍成立 测度的延拓由定理4知道”是一个σ代数,限制在求上是一个测度.一个自 然的问题是,在上是否等于4?”有多大?下面的定理回答了这两个问题 定理5设是环上的测度,是由导出的外测度.R”是-可测集的全体 所成的集类.则 (i).p在上的限制等于4,即当A∈只时'(A)=p(A (i).a()∈ 证明(1)设A∈,由于{4是A的一个覆盖,故'(A)≤山(A).另一方面,对 A的任意一个覆盖{An},由于A=U(A∩A),我们有
47 (6)式对任意 n 都成立. 在(6)中令 n → ∞, 并利用外测度的次可数可加性, 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 c c i A ≥ A∩ Ei + A∩ E ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ ∞ = ∗ ∗ µ ∑µ µ µ µ 上式表明 E 满足卡氏条件(4)式 因此 = ∈ ∞ = ∪ n 1 E En ∗ R . 这就证明了 ∗ R 是σ -代数. (ii).为证 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度, 只需证明 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 设{En } ⊂ ∗ R , 并 且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 由外测度的次可数可加性, 我们有 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ i i i µ ∪Ei µ E 另一 方面, 在(5)中令 A=X 得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∪ ∪ ∞ = ∗ = ∗ = ∗ ∑ = ≤ i i n i i n i µ Ei µ E µ E 上式中令 n → ∞, 得到 ( ) ( ). 1 1 ∪ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∑ ≤ i i i µ Ei µ E 因此 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ = 1 1 ( ) ( ) i i i µ ∪Ei µ E , 即 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 所以 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度.■ 注 1 从定理.4 的证明可以看出, 定理 4 的结论(i) 和(ii) 并不依赖于环R 上的测度 µ , 只用到了定理 1 中 ∗ µ 所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理 1 中的(i),(ii) 和 (iii) 的集函数 ∗ µ 为外测度. 然后和定义 2 一样定义 ∗ µ 可测集. 则定理 4 的结论对这样定义 的一般的外测度 ∗ µ 仍成立. 测度的延拓 由定理 4 知道 ∗ R 是一个σ -代数, ∗ µ 限制在 ∗ R 上是一个测度. 一个自 然的问题是, 在R 上 ∗ µ 是否等于 µ ? ∗ R 有多大? 下面的定理回答了这两个问题. 定理 5 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 µ∗ −可测集 的全体 所成的集类. 则 (i). ∗ µ 在R 上的限制等于 µ , 即当 A∈ R 时 µ (A) = µ(A). ∗ (ii). σ (R ) ⊂ ∗ R . 证明 (i) 设 A∈ R, 由于{A}是 A 的一个R 覆盖, 故 µ (A) ≤ µ(A). ∗ 另一方面, 对 A 的任意一个R 覆盖{ }, An 由于 ∪ ∞ = = ∩ 1 ( ), n A A An 我们有