《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十二章 数项级数

1+(-1) +1+(-1) +...因为一般项un=(-1)n-1不趋于零，所以发散例3讨论调和级数1111+=+-++-+.23n的敛散性。解 这里一般项 u,=π→0,不能利用推论判断级数的敛散性。后页返回前页

前页 后页 返回 1 ( 1) 1 ( 1) + − + + − + 例3 讨论调和级数 + + + + + 1 1 1 1 2 3 n 的敛散性. 解 这里一般项 1 0 un n = → ,不能利用推论判断级数 的敛散性. 因为一般项un=( )n-1 −1 不趋于零，所以发散

若令p=m,则有1UUm+1 + u,+-m+2m2mm+1m+27-22ml2m2m故取 & =对任何正整数N只要 m>N和p=m2就有(7)式成立，因此调和级数发散前页后页返回

前页 后页 返回 若令 p = m, 则有 + + + + + = + + + + + 1 2 2 1 1 1 1 2 2 u u u m m m m m m  + + + 1 1 1 2 2 2 m m m 1 , 2 = 0 = 1 , 2 故取  对任何正整数 N 只要 m > N 和 p = m 就有(7)式成立，因此调和级数发散

n+-80n)Z的敛散性。例4 判断级数XIn+n=lnn解 因为1n+-n+-nnlimlim: lim:1±0111n-→oon-0on-00n+nh"n"n"n所以由级数收敛的必要条件知原级数发散前页后页返回

前页 后页 返回 例4 判断级数 1 1 1 n n n n n n n  + =   +      的敛散性. 解 因为 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 0 n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n → → → +          +  + +                 = = =  所以由级数收敛的必要条件知原级数发散

枚例5运用级数收敛的柯西准则证明级数收敛证 由于[Um++ + Um+2 +..+ u,?m+p111(m+p)(m+1)m+2111(m+p-1)(m+p)m(m+1)(m+1)(m+2)111++m+2m+1m+p-1 m+p后页返回前页

前页 后页 返回 例5 运用级数收敛的柯西准则证明级数  2 1 n 收敛. 证 由于 u u u m m m p + + + 1 2 + + + = + + + + + + 2 2 2 1 1 1 ( 1) ( 2) ( ) m m m p  + + + + + + + − + 1 1 1 m m m m m p m p ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( ) 1 1 1 1 1 1 m m m m m p m p 1 1 2 1       = − + − + + −           + + + + − +  

11<一m m+pm1，当m>N及任意正因此,对任意ε>0,可取N =二8整数p,由上式可得um+1 +um+2 +·二<8+um+pm1依级数收敛的柯西准则，知级数>收敛2n12-注级数的收敛性已由例5的证明过程所n(n+1)2=1显示.后页返回前页

前页 后页 返回 = − + 1 1 m m p  1 . m 因此,    =     1  0, , N  对任意 可取 当m>N及任意正 整数 p,由上式可得 1 2 1 , u u u m m m p m  + + + + + +    2 1 n 依级数收敛的柯西准则,知级数 收敛. 注 级数 1 1 ( 1) n n n  = +  的收敛性已由例5的证明过程所 显示