111S.+n(n + 1)1-22:31111+.+一+n-l2(21n+1由于lim S, = limn->0n-→00n+l因此级数(4)收敛,且其和为1.前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 1 12 23 ( 1) Sn n n = + + + + = − + − + + − − 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 n n = − + 1 1 . n 1 → → = − = + 1 lim lim 1 1, 1 n n n S n 由于 因此级数 (4) 收敛,且其和为1
注由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它的部分和数列(S，来确定，因而也可把级数(1)作为数列{S,}的另一种表现形式.反之，任给一个数列{a,},如果把它看作某一数项级数的部分和数列,则这个数项级数就是Zu, =a, +(a, -a)+(a, -a,)+...+(a, -a-)+..(5)n=1这时数列(α,与级数(5)具有相同的敛散性，且当{an}收敛时,其极限值就是级数(5)的和前页后页返回
前页 后页 返回 注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它 的部分和数列 { } Sn 来确定, 因而也可把级数(1)作为 数列 { } Sn 的另一种表现形式. 反之, 任给一个数列 { }n a , 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则 这个数项级数就是 − = = + − + − + + − + 1 2 1 3 2 1 1 ( ) ( ) ( ) . (5) n n n n u a a a a a a a { } 这时数列 an 与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当 { } an 收敛时,其极限值就是级数(5)的和
基于级数与数列的这种关系，读者不难根据数列极限的性质得出下面有关级数的定理定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要条件是:任给正数ε,总存在正整数 N,使得当 m>N以及对任意的正整数p都有(6)Um+1 + Um+2 + ... + uma返回前页后页
前页 后页 返回 基于级数与数列的这种关系,读者不难根据数列极 限的性质得出下面有关级数的定理. 定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要 条件是:任给正数 , , 总存在正整数 N 使得当 m N 以及对任意的正整数 p 都有 + + + 1 2 + + + . (6) u u u m m m p
根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻写出级数(1)发散的充要条件是：存在某正数8o，对任何正整数N,总存在正整数mo(>M)和po，有(7)[u'm++ Um+2 +.. + m+p ≥Eg.前页后页返回
前页 后页 返回 根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻 写出级数(1)发散的充要条件是: 0 存在某正数 , 对 任何正整数N,总存在正整数m0 (>N)和p0，有 + + + + + + 0 0 0 0 1 2 0 . (7) u u u m m m p
由定理12.1立即可得如下推论推论(级数收敛的必要条件)若级数(1)收敛，则limu, = 0.n00注推论是级数收敛的一个必要条件：一般项不趋于零，级数一定发散，但一般项趋于零，则级数未必收敛，因此用来判断级数发散很有效.如级数返回前页后页
前页 后页 返回 由定理12.1立即可得如下推论. 推论(级数收敛的必要条件) 若级数(1)收敛,则 → lim 0. n = n u 注 推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于 零, 级数一定发散, 但一般项趋于零, 则级数未必 收敛，因此用来判断级数发散很有效. 如级数