Gren公式(2) 、曲线积分与路径无关的定义 如果在区域G内有 ∫,P+Qh Px+Q小y 则称曲线积分Px+Q小在G内与路径无关 否则与路径有关
如果在区域G内有 + L1 Pdx Qdy = + L2 Pdx Qdy y o x G L1 L2 A B 则称曲线积分 + L Pdx Qdy在G 内与路径无关, 否则与路径有关. Green 公式（2） 一、曲线积分与路径无关的定义
二、曲线积分与路径无关的条件 定理2设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分P+Q在G内与路径无关 (或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充 要条件是 aP 8Q a-aG内恒成立
二、曲线积分与路径无关的条件 设开区域G 是一个单连通域, 函 数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分 + L Pdx Qdy 在G 内与路径无关 （或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充 要条件是 x Q y P = 在G 内恒成立. 定理2
有关定理的说明: (1)开区域G是一个单连通域 (2)函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连 续偏导数 两条件缺一不可 如「坳-yh 2 x t y 2,Q xt y r ty aP y yx+y2a在原点O(0)处不连续
有关定理的说明： (1) 开区域G是一个单连通域. (2) 函 数P(x, y), Q(x, y)在G 内具有一阶连 续偏导数. 两条件缺一不可 如 + − L x y xdy ydx 2 2 2 2 2 2 , x y x Q x y y P + = + = − x Q x y y x y P = + − = 2 2 2 2 在原点 O(0,0) 处不连续
若L不经过也不包围原点,则L所围区域为单连通域 偏导数也连续 xdy- yde x2+p=0 若L包围原点在其内,偏导数不连续 则以原点为心,充分小的r为半径作一正向小圆周〃 在L和所围成的区域内,偏导数连续 但区域已不再是单连域 xdy-ydx 2=±2z其中正、负号取决于L的方向 x t y
若L 不经过也不包围原点，则L所围区域为单连通域 偏导数也连续 + − L x y xdy ydx 2 2 = 0 若L 包围原点在其内，偏导数不连续 则以原点为心，充分小的r 为半径作一正向小圆周 在L和 所围成的区域内，偏导数连续 但区域已不再是单连域 + − L x y xdy ydx 2 2 = 2 其中正、负号取决于L 的方向
三、二元函数的全微分求积 定理3设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导 数,则P(x,y)dx+Q(x,y)d在G内为某 函数u(x,y)的全微分的充要条件是等式 oP 00 在G内恒成立
三、二元函数的全微分求积 设开区域G 是一个单连通域, 函 数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则P( x, y)dx + Q( x, y)dy在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式 x Q y P = 在G内恒成立. 定理3