例6证明级数∑ 是收敛的,并求和 n1n(n+1)(n+2) 解 nn+Xn+2)2(n+)(n+(m+2) (i+1i+2) 111 2(12232334n(n+1)(n+1)(n+2) 2(2(n+1)(n+2)4
例6 证明级数 是收敛的，并求和。 1 1 n n n( 1 ) ( n 2 ) ∞ = + + ∑ 解 ( ) ( ) 1 1 1 1 n n( 1 ) ( n 2) 2 n ( n 1 ) n 1 n 2 ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + + + ⎝ ⎠ ∵ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( 1 ) ( 2 ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 1 1 2 1 1 1 1 . 2 2 1 2 4 n i i i i n n n n n n = + + ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ + − + + − ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ∴ ∑
n=ln(n+1)(n+2 )4
1 1 1 . n n n( 1 ) ( n 2 ) 4 ∞ = = + + ∴ ∑
例6证明调和级数 1+-+-+…+ 是发散的。 证该级数的前2m+1项的部分和为 2 4丿(5678 1 m+1 2m+12m+22mH2 →>(m-→)
例6 证明调和级数 1 1 1 1 1 1 n n n 2 3 ∞ = ∑ = + + +" " + + 是发散的。 证 该级数的前2m+1项的部分和为 ( ) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 , 2 1 2 2 2 2 m m m m s m m + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟+⎜ + ⎟+⎜ + + + ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + + +⎜ ⎟ + + > →∞ →∞ ⎝ ⎠ + +
所以级数 1+-+-+…+ 是发散的
所以级数 1 1 1 1 1 1 n n n 2 3 ∞ = ∑ = + + +" " + + 是发散的
无穷级数的基本性质 设级数∑an称级数∑a为原级数的余项级数,并 k=n+1 注意到,若原级数的部分和为s,余项级数的部分和为 sm(m>n),则有 m+n
无穷级数的基本性质 设级数 ，称级数 为原级数的余项级数，并 注意到，若原级数的部分和为 s n，余项级数的部分和为 s ´m(m>n)，则有 1 n n a ∞ = ∑ 1 k k n a ∞ = + ∑ . m m n n s s s + ′ = −