doLcpV28令to二JC/cosp-cosPodpE oooa有to-t:t是摆从最大正偏离角?=P第一次到达P一0所需时间。通过分析，只需讨论摆在0≤t≤4t。时间内的情况即可。do是一个椭圆积分，不能用初等函数表cOs?-cOsP示出来。结论：非线性的情形比线性的情形要复杂得多。A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 结论：非线性的情形比线性的情形要复杂得多。 − 0 0 cos cos d 是一个椭圆积分，不能用初等函数表 示出来。 0 t 是摆从最大正偏离角 第一次到达 所需 时间。 =0 = 0 − = 0 0 0 0 2 cos cos d g l 令 t − − = 0 0 0 2 cos cos d g l 有 t t 通过分析，只需讨论摆在 0 t 4t 0 时间内的情况即可
3已知齐线性方程的非零特解，进行降阶(U）设x=x+0是二阶齐线性方程d'xdx(4.69)+g(t)x=0+p(t)dt?的非零解令x=xyX=Xy+Xy则x=xy+2xy+xJ代入（4.69）得xy+[2x+p(t)xly+[x +p(t)x+q(t)xly=0即xy+[2x,+p(t)xly=0AA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶 1 (1) 0 设 是二阶齐线性方程 x x = 2 2 ( ) ( ) 0, (4.69) d x dx p t q t x dt dt + + = 的非零解 令 1 x x y = 则 ' ' ' 1 1 x x y x y = + '' '' ' ' '' 1 1 1 x x y x y x y = + + 2 代入(4.69)得 '' ' ' '' ' 1 1 1 1 1 1 x y x p t x y x p t x q t x y + + + + + = [2 ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0 即 '' ' ' 1 1 1 x y x p t x y + + = [2 ( ) ] 0
xy+[2x+p(t)xly=0引入新的未知函数z=ydz+[2x +p(t)x]z=0dtXi方程变为C-J p(0)dteZ=?是一阶线性方程，解之得X2p(t)dt则dt+C,OX因而p(t)dtdt],x=x,[C +C2(4.70)e2X这里c，c是任常数A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 '' ' ' 1 1 1 x y x p t x y + + = [2 ( ) ] 0 引入新的未知函数 ' z y = , 方程变为 ' 1 1 1 [2 ( ) ] 0 dz x x p t x z dt + + = 是一阶线性方程,解之得 ( ) 2 1 , c p t dt z e x − = 因而 ( ) 1 1 2 2 1 1 [ ], (4.70) p t dt x x c c e dt x − = + 1 2 这里 是任常数. c c, 则 ( ) 2 1 2 1 1 , p t dt y c e dt c x − = +
令c=0,c=1得（4.69）的个解：-Ip(t)dtdt,QX=Xx故x，x线性无关因它与x之比不等于常数，古因此（4.69）的通解为p(t)dtdt],(4.70)x=x,[Ci+C2D5X这里cc是任常数A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 因此 (4.69)的通解为 1 因它与 之比不等于常数, x 1 2 故 线性无关 x x, 1 2 令 =1得(4.69)的一个解: c c = 0, ( ) 2 1 2 1 1 , p t dt x x e dt x − = ( ) 1 1 2 2 1 1 [ ], (4.70) p t dt x x c c e dt x − = + 1 2 这里 是任常数. c c