1.6三角函数模型的简单应用 【学习目标】1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型 1问题导学 知识点利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中,周期现象广泛存在,潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换,甚至连人 的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化. 思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述? 答案三角函数模型 梳理(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 第一步:阅读理解,审清题意 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字,理解题目所反映的实际背景,在此基础上分析出已 知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步:收集、整理数据,建立数学模型. 根据收集到的数据找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关 系式,将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题,即建立三角函数模型,从而实现 实际问题的数学化 第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步:将所得结论转译成实际问题的答案 (2)三角函数模型的建立程序 如图所示: [收集数据]一[画牧点图},一[边择数模型 不符合实际 求函数模型的解 符合实际 圆函教模型的解解铎实际问 2题型探究 类型一三角函数模型在物理中的应用 例1已知电流I与时间t的关系为I=Asin(at+φ)
1 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 1.6 三角函数模型的简单应用 学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型. 知识点 利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人 的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化. 思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 答案 三角函数模型. 梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意. 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已 知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型. 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关 系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现 实际问题的数学化. 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示： 类型一 三角函数模型在物理中的应用 例 1 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝Asin(ωt＋φ)
(1)如图所示的是F=sin(at+中)(>0,|中)在一个周期内的图象,根据图中数据求 =Asin(at+φ)的解析式 (2)如果t在任意 的时间内,电流Ⅰ=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么 a的最小正整数值是多少? 解(1)由图可知A=30,设=~1 则周期7=2(t2-t)= 1 180900/75 7=150x 又当=180时,1=0,即sin +中=0, 而|中<。,∴φ 故所求的解析式为=300sin150t (2)依题意知,周期下150,即a≤150(∞>0) d≥300>942,又a∈N, 故所求最小正整数d=943. 反思与感悟此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图 是数形结合的有效途径 跟踪训练1一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位 置的位移S(单位:cm)与时间x(单位:s)的函数关系是S=6sin(2xt+6 (1)画出它的图象 (2)回答以下问题: ①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置是多少? ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少? ③小球来回摆动一次需要多少时间? 解(1)周期7=2=1(s)
2 (1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π 2 )在一个周期内的图象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段 1 150的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？ 解 (1)由图可知 A＝300，设 t1＝－ 1 900，t2＝ 1 180， 则周期 T＝2(t2－t1)＝2 1 180＋ 1 900 ＝ 1 75. ∴ω＝ 2π T ＝150π. 又当 t＝ 1 180时，I＝0，即 sin 150π· 1 180＋φ ＝0， 而|φ|<π 2 ，∴φ＝ π 6 . 故所求的解析式为 I＝300sin 150πt＋ π 6 . (2)依题意知，周期 T≤ 1 150，即2π ω ≤ 1 150(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又 ω∈N *， 故所求最小正整数 ω＝943. 反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图 是数形结合的有效途径. 跟踪训练 1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位 置的位移 S(单位：cm)与时间 t(单位：s)的函数关系是 S＝6sin(2πt＋ π 6 ). (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即 t＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)周期 T＝ 2π 2π＝1(s)
列表 11 612 2-312 12 3 2πt+ 2|2x+ 6sin(2πt+ 描点画图: (2)①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置为3cm ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm ③小球来回摆动一次需要1s(即周期) 类型二三角函数模型在生活中的应用 例2某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米,直径长是98米,匀速旋转一圈需要18分 钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时,那么 (1)当此人第四次距离地面。米时用了多少分钟? (2)当此人距离地面不低于(69+3)米时可以看到游乐园的全貌,求摩天轮旋转一圈中有 多少分钟可以看到游乐园的全貌 解(1)如图,建立平面直角坐标系,设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米,则=2%A
3 列表： t 0 1 6 5 12 2 3 11 12 1 2πt＋ π 6 π 6 π 2 π 3π 2 2π 2π＋ π 6 6sin(2πt＋ π 6 ) 3 6 0 －6 0 3 描点画图： (2)①小球开始摆动(即 t＝0)，离开平衡位置为 3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm. ③小球来回摆动一次需要 1 s(即周期). 类型二 三角函数模型在生活中的应用 例 2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面 108 米，直径长是 98 米，匀速旋转一圈需要 18 分 钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么： (1)当此人第四次距离地面69 2 米时用了多少分钟？ (2)当此人距离地面不低于(59＋ 49 2 3)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有 多少分钟可以看到游乐园的全貌？ 解 (1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮 t 分钟时距地面 y 米，则 α＝ 2π 18 t ＝ π 9 t
由y=108- 9898丌 =-49 cost+59(t≥0) 令-49c0(+59=, 2,得 cost ∴一t=2kπ± 故t=18k±3,k∈Z,故t=3,15,21,33. 故当此人第四次距离地面。米时用了33分钟 (2)由题意得-49c-t+59≥59+3 即cos-t≤ 故不妨在第一个周期内求即可 7 所以 ≤,解得≤t≤ 15 因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌 反思与感悟解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行:(1)认真审 题,理清问题中的已知条件与所求结论:(2)建立三角函数模型,将实际问题数学化:(3)利 用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题,求得数学模型的解;(4)根据实际问题的意 义,得出实际问题的解;(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案 跟踪训练2如图所示,一个摩天轮半径为10m,轮子的底部在距离地面2m处,如果此摩 天轮按逆时针转动,每30s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度 相同)时开始计时
4 由 y＝108－ 98 2 － 98 2 cos π 9 t ＝－49cos π 9 t＋59(t≥0). 令－49cos π 9 t＋59＝ 69 2 ，得 cos π 9 t＝ 1 2 ， ∴ π 9 t＝2kπ± π 3 ， 故 t＝18k±3，k∈Z，故 t＝3，15，21，33. 故当此人第四次距离地面69 2 米时用了 33 分钟. (2)由题意得－49cos π 9 t＋59≥59＋ 49 2 3， 即 cos π 9 t≤－ 3 2 . 故不妨在第一个周期内求即可， 所以5π 6 ≤ π 9 t≤ 7π 6 ，解得15 2 ≤t≤ 21 2 ， 故 21 2 － 15 2 ＝3. 因此摩天轮旋转一圈中有 3 分钟可以看到游乐园的全貌. 反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审 题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利 用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意 义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 跟踪训练 2 如图所示，一个摩天轮半径为 10 m，轮子的底部在距离地面 2 m 处，如果此摩 天轮按逆时针转动，每 30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心高度 相同)时开始计时
()求此人相对于地面的高度关于时间的关系式 (2)在摩天轮转动的一圈内,大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m 解(1)设在s时,摩天轮上某人在高m处这时此人所转过的角为30=15,故在 s时,此人相对于地面的高度为h=10sint+12(t≥0) (2)由10sin1t+12≥17,得。; 25 ≤t≤ 故此人有10s相对于地面的高度不小于17 3当堂训练 1.一根长lcm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm) 与时间t(s)的函数关系式为s=3 t+,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期 是1s时,线长l= 答案A2 解析∵7= 2某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Ao(x-6) (x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气 温最低,为18℃,则10月份的平均气温为 答案20.5 28+18 解析由题意可知|25,a2223,从而y=5co(x-6)+23.故10月份 的平均气温值为 os×4|+23=20.5 3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为a(rad),并规定当小球在铅锤方向右 侧时a为正角,左侧时a为负角.a作为时间t(s)的函数,近似满足关系式a=Asin(at ,其中>0.已知小球在初始位置(即t=0)时,a=3,且每经过xs小球回到初始 位置,那么A= a关于t的函数解析式是 5
5 (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m. 解 (1)设在 t s 时，摩天轮上某人在高 h m 处.这时此人所转过的角为2π 30 t＝ π 15 t，故在 t s 时，此人相对于地面的高度为 h＝10sin π 15t＋12(t≥0). (2)由 10sin π 15t＋12≥17，得 sin π 15t≥ 1 2 ， 则 5 2 ≤t≤ 25 2 . 故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m. 1.一根长 l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm) 与时间 t(s)的函数关系式为 s＝3cos g l t＋ π 3 ，其中 g 是重力加速度，当小球摆动的周期 是 1 s 时，线长 l＝________ cm. 答案 g 4π2 解析 ∵T＝ 2π g l ＝1，∴ g l ＝2π，∴l＝ g 4π2. 2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos π 6 (x－6) (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28℃，12 月份的月平均气 温最低，为 18℃，则 10 月份的平均气温为________℃. 答案 20.5 解析 由题意可知 A＝ 28－18 2 ＝5，a＝ 28＋18 2 ＝23，从而 y＝5cos π 6 (x－6) ＋23.故 10 月份 的平均气温值为 y＝5cos π 6 ×4 ＋23＝20.5. 3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为 α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右 侧时 α 为正角，左侧时 α 为负角.α 作为时间 t(s)的函数，近似满足关系式 α＝Asin(ωt ＋ π 2 )，其中 ω>0.已知小球在初始位置(即 t＝0)时，α＝ π 3 ，且每经过 π s 小球回到初始 位置，那么 A＝________；α 关于 t 的函数解析式是____________________