【高中数学】新人教版高中数学三角函数模型的简单应用教案必修四 教学分析 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很 多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用 三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画 周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三 角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关 注到三角函数性质(特别是周期性)的应用 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数 学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、 抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计 算杋或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合 等. 二、教学目标 1、知识与技能: 掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作 出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 2、过程与方法: 选择合理三角函数模型解决实际问题,注意在复杂的背景中抽取基本的数学关 系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题。切身感受数学建模的全过程,体验数学 在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系 3、情态与价值: 1/16
凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 1 / 16 【高中数学】新人教版高中数学三角函数模型的简单应用教案必修四 一、教学分析 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很 多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画 周期变化现象的学习.本节教材通过 4 个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三 角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关 注到三角函数性质(特别是周期性)的应用. 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数 学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、 抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计 算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合 等. 二、教学目标 1、知识与技能： 掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作 出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2、过程与方法： 选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关 系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。切身感受数学建模的全过程，体验数学 在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。 3、情态与价值：
培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。 、教学重点与难点 教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建 立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题 教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识 来解决问题 四、教学设想: 三角函数模型的简单应用(一) 导入新课 思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现 实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些 具有周期性变化的问题?它到底能发挥哪些作用呢?由此展开新课 思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三 角函数的周期性在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否 可以借助三角函数来描述呢?回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用 面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?以下通过几个 具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用 、推进新课、新知探究、提出问题 ①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现 实世界中的哪些规律的 ②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么? ③上述的数学模型是怎样建立的? ④怎样处理搜集到的数据? 2/16
凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 2 / 16 培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。 三、教学重点与难点 教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建 立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. 教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识 来解决问题. 四、教学设想： 三角函数模型的简单应用（一） 一、导入新课 思路 1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现 实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些 具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课. 思路 2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三 角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否 可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1 第三章第二节“函数模型及其应用”, 面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个 具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用. 二、推进新课、新知探究、提出问题 ①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现 实世界中的哪些规律的? ②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么? ③上述的数学模型是怎样建立的? ④怎样处理搜集到的数据?
活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方 法与过程对课前己经做好复习的学生给予表扬并鼓励他们类比以前所学知识 方法,继续探究新的数学模型对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快 速激起相应的知识方法在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题 的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→ 用函数模型解释实际问题 这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而 解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是 教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知. 讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型. ②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度 来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型 的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研 究实际问题的一般数学方法 ③解决问题的一般程序是: 1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系 2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型 3°求解∷对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论; 4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答. ④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型 、应用示例 例1如图1,某地一天从6-14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin( φ)+b 3/16
凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 3 / 16 活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方 法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识 方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快 速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题 的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→ 用函数模型解释实际问题. 这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而 解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是 教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知. 讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型. ②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度 来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型 的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研 究实际问题的一般数学方法. ③解决问题的一般程序是: 1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系； 2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型； 3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答. ④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型. 三、应用示例 例 1 如图 1, 某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=sin(ω x+φ)+b
图1 (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式 活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题探究时教师与学生 起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题教师可引导学生思考,本 例给出模型了吗?给出的模型函数是什么?要解决的问题是什么?怎样解决? 然后完全放给学生自己讨论解决 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际 上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思 考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温 差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式让学生体会 不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求 出解析式中的未知参数,即可确定其解析式其中求ω是利用半周期(14-6),通 过建立方程得解. 解:(1)由图可知这段时间的最大温差是20℃ (2)从图中可以看出,从6-14时的图象是函数y=Asin(x+φ)+b的半个周 期的图象, A=(3010)=10,b=(30+10)=20 12 ∴·=14-6. ∴ω=.将x=6,y=10代入上式解得中=. 综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].3z 点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6-14即可,这恰好是半个 周期,提醒学生注意抓关键本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段 4/16
凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 4 / 16 图 1 (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 活动:这道例题是 2002 年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一 起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本 例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？ 然后完全放给学生自己讨论解决. 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际 上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思 考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求 6 是到 14 时这段时间的最大温 差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会 不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求 出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求 ω 是利用半周期(14-6),通 过建立方程得解. 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是 20 ℃. (2)从图中可以看出,从6—14 时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周 期的图象, ∴A=(30-10)=10,b= (30+10)=20. 2 1 2 1 ∵·=14-6, 2 1 2 ∴ω=.将 x=6,y=10 代入上式,解得φ=. 8 • 4 3 综上,所求解析式为 y=10sin(x+)+20,x∈[6,14]. 8 • 4 3 点评:本例中所给出的一段图象实际上只取 6—14 即可,这恰好是半个 周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段
的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略 掉 例22007全国高考函数y=|sinx|的一个单调增区间是( (,) B.(,) C.(,) D.(,2m)-22x33z3z 答案:C 例3如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度 φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是0=90°-d-8|.当地夏半年 δ取正值,冬半年δ取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖 新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小 于多少? 活动:如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强需调 动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点在探讨时要让学生充 分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系 首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为中,正 午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是 θ=90°-|φ-8|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值 根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带, 图形如图3,由画图易知 太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系: h0=han a 由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直 5/16
凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 5 / 16 的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略 掉. 例 2 2007 全国高考 函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(,) B.(,) C.(π,) D.(,2π) 4 − 4 4 4 3 2 3 2 3 答案:C 例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度, φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年 δ取正值,冬半年δ取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬 40°)的一幢高为 h0 的楼房北面盖 一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小 于多少? 活动: 如图 2 本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调 动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充 分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系. 首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为 φ,正 午太阳高度角为 θ,此时太阳直射纬度为 δ,那么这三个量之间的关系是 θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年 δ 取正值,冬半年 δ 取负值. 根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带, 图形如图 3,由画图易知 太阳高度角θ、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间有如下关系: h0=htanθ. 由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直