16三角形函数模型的简单应用 、教学目标 (一)核心素养 通过这节课学习,了解并掌握三角函数模型应用基本步骤,会利用收集到的数据 作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型 (二)学习目标 1.了解并掌握三角函数模型应用基本步骤 2.利用收集到的数据作出散点图,根据散点图进行函数拟合,建立三角函数模 型,掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法 3.感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想,并能理解应用“数形结合” “函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题. (三)学习重点 运用三角函数模型,解决一些具有周期性变化规律的实际问题 2.从实际问题中发现周期变化的规律,并将所发现的规律抽象为恰当的三角函 数模型. (四)学习难点 分析、整理、提取和利用信息,将实际问题抽象转化成三角函数模型,并综合运 用相关知识解决实际问题 教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 (1)三角函数可以作为描述现实世界中_周期现象的一种数学模型 (2)y=sinx是以π为周期的波浪形曲线 预习自测 (1)函数=im(2xz)的最小正周期为兀 (2)已知某地一天从4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sim(x2z) +20x∈[4,16],则该地区这一段时间内的最大温差为_20℃
1.6 三角形函数模型的简单应用 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据 作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标 1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤． 2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模 型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法． 3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、 “函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点 1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题. 2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函 数模型． （四）学习难点 分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运 用相关知识解决实际问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y=|sin x|是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数 y=sin（2x- 3 ）的最小正周期为 π . （2）已知某地一天从 4～16 时的温度变化曲线近似满足函数 y=10sin（ 8 x- 4 5 ） +20,x [4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃
(二)课堂设计 1知识回顾 (1)参数A(A>0),o(>0),g对函数图象的影响 (2)函数y=Asin(ox+)的图象 (3)y=Asin(anx+p),x∈[0,+∞)(A>0,o>0)中各量的物理意义 2.问题探究 例1如图某地一天从6-14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ox+g)+b T℃C 000 68101214 (1)求这一天6-14时的最大温差(2)写出这段曲线的函数解析式 【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合的数学思想 【解题过程】 解(1)由图可知这段时间的最大温差是20℃ (2)从图中可以看出,从614时的图象是函数=Asin(x+g)+b的半个周期的图象 ∴A==(30-10=10,b=(30+10=20 -=14-6 ∴m=z将x=6y=10代入上式解得= 综上所求解析式为y=10sn(x+)+20x∈[614 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题,引导学生观察给出的 模型函数并思考要解决的问题,让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的 不同作用提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取614即可,此段恰 好为半个周期本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情 况,因此应当特别注意自变量的变化范围
(二)课堂设计 1.知识回顾 （1）参数 A（A﹥0），ω（ω﹥0），φ 对函数图象的影响. （2）函数 y=Asin（ωx+φ）的图象. （3）y=Asin（ωx+φ），x [0，+ ）（A﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究 例 1 如图,某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=sin(ωx+φ)+b. (1)求这一天 6—14 时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是 20 ℃. (2)从图中可以看出,从 6—14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象, ∴A= 2 1 (30-10)=10,b= 2 1 (30+10)=20. ∵ 2 1 · 2 =14-6, ∴ω= 8 .将 x=6,y=10 代入上式,解得 φ= 4 3 . 综上,所求解析式为 y=10sin( 8 x+ 4 3 )+20,x [6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的 模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的 不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取 6—14 即可,此段恰 好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情 况,因此应当特别注意自变量的变化范围
同类训练如下图表示的是电流Ⅰ与时间t的函数关系 1=4(+2号)在一个周期内的图象 300 (1)根据图象写出=Asin(om+q)的解析式; (2)为了使=Asin(on+)中的t在任意一段s的时间内电流I能同时取得最大 值和最小值,那么正整数o的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合 【解题过程】解(1)由图知A=300,第一个零点为(-,0)第二个零点为(-,0) +q=x.解得a=100r I=300sin100m+ (2)依题意有7≤,即≤,,≥200x.故on=629 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法 例2如图设地球表面某地正午太阳高度角为O6为此时太阳直射纬度,g为该地 的纬度值,那么这三个量之间的关系是0=90-|0-列当地夏半年δ取正值冬半年δ 取负值 如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h的楼房北面盖一新楼,要使 新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 太阳光 【知识点】正切函数 【数学思想】数形结合 【解题过程】太阳高度角的定义;设地球表面某地纬度值为g,正午太阳高度角为O
同类训练 如下图表示的是电流 I 与时间 t 的函数关系 ( ) = + 2 sin 0, I A t 在一个周期内的图象. (1)根据图象写出 I = Asin(t +) 的解析式; (2)为了使 I = Asin(t +) 中的 t 在任意一段 100 1 s 的时间内电流 I 能同时取得最大 值和最小值,那么正整数 的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)由图知 A=300,第一个零点为(－ 300 1 ,0),第二个零点为( 150 1 ,0), ∴ + = + = − 150 1 0, 300 1 .解得 3 100 , = = ,∴ = + 3 300sin 100 I t . (2)依题意有 T≤ 100 1 ,即 2 ≤ 100 1 ,∴ 200 .故 min = 629 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法. 例 2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为 θ,δ 为此时太阳直射纬度,φ 为该地 的纬度值,那么这三个量之间的关系是 θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年 δ取正值,冬半年 δ 取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬 40°)的一幢高为 0 h 的楼房北面盖一新楼,要使 新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ
此时太阳直射纬度为δ那么这三个量之间的关系是b=90--当地夏半年δ取 正值冬半年δ取负值 由地理知识可知南、北回归线之间的地带可被太阳直射到由画图易知太阳高度 角θ、楼高h与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系ho=hlunθ 由地理知识可知在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归 线时物体的影子最长因此为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑 太阳直射南回归线时的情况 2326′0°2326′M40°ABC 解如图A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的 投影点要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归 线的情况考虑,此时的太阳直射纬度-23°26′依题意两楼的间距应不小于MC 根据太阳高度角的定义,有 ∠C=90°-40°-(-23°26′)=26°34′ 所以MC=b h ≈2000ho tanc tan26 34 即在盖楼时为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距 【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析 问题,提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系,调动相关学科知识来帮助 解决问题,最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得 的函数模型解决问题 同类训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房该小区的楼高7层, 每层3米,楼与楼之间相距15米要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼 房遮挡,他应选择哪几层的房? A南楼 C北楼
此时太阳直射纬度为 δ,那么这三个量之间的关系是 θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年 δ 取 正值,冬半年 δ 取负值. 由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度 角 θ、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间有如下关系:h0=h tanθ 由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归 线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑 太阳直射南回归线时的情况. 解:如图,A、B、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的 投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归 线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于 MC. 根据太阳高度角的定义,有 ∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以 MC＝ tanC h0 = 26 34' tan h0 ≈2.000h0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距. 【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析 问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助 解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得 的函数模型解决问题. 同类训练 某市的纬度是北纬 23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高 7 层, 每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼 房遮挡,他应选择哪几层的房？
【知识点】正切函数 【数学思想】数形结合 【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的髙度为 h=15tan[90°-(23°+23°26′)=5tan43°34′≈1426 由于每层楼高为3米根据以上数据 所以他应选3层以上 【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题 例3货船进出港时间问题:海水受日月的引力在一定的时候发生涨落的现象叫 潮.一般地早潮叫潮,晚潮叫汐在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸 货后,在落潮时返回海洋下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表 时刻0:0030060090012001500180021002400 水深 5.0 7.5 502.5507.55025|50 米 (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系给出整点时的水 深的近似数值(精确到0.001) (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米 的安全间隙(船底与洋底的距离)该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米该船在2:00开始卸货,吃水深度以 每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货将船驶向较深的水 域? 活动1:引导学生观察上述问题表格中的数据,发现规律并进一步引导学生作出 散点图引导学生根据散点的位置排列思考并建立相应的函数模型刻画其中的规 03691151821 活动2:根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解根据题 意,一天中有两个时间段可以进港
【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为 h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26, 由于每层楼高为 3 米,根据以上数据, 所以他应选 3 层以上. 【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题. 例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫 潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸 货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/ 米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水 深的近似数值(精确到 0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定至少要有 1.5 米 的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以 每小时 0.3 米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水 域? 活动 1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出 散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规 律. 活动 2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题 意,一天中有两个时间段可以进港