兰州大学：《矩阵理论》第二讲 特征值与特征向量

特征值与特征向量( Cont inue) 证明 由方阵的幂的定义,Vk∈Z有 (Ax)=A(x)=nAx 那么f(A)x=(a,A31+a A+ao1)x A x+a,ax+.+,+alx (a21+a121+…+a12+a0)x fc)x 如果f(A)=0 0=f(4)x= f(4)xf(=0 彐0≠x∈F 萬m水字信息科学与工程学院

信息科学与工程学院 特征值与特征向量（Continue） 证明: 由方阵的幂的定义， 有 那么 如果 k Z A x A Ax A x A x x k k k k k = =  =  = =  −1 ( ) −1 ( ) −1  f A x a A a A a A a I x s s s s ( ) ( ) 1 0 1 1 1 = + + + + − − −  a A x a A x a Ax a Ix s s s s 1 0 1 1 1 = + + + + − − −  f x a a a a x s s s s ( ) ( ) 1 0 1 1 1     = = + + + + − − −  f (A) = 0 0 = f (A)x = f ()x n 0  x F f () = 0

特征值与特征向量( Cont inue) ·属于不同特征值的线性无关的特征向量组,组合起来仍线 性无关 设,2,…,n∈F是A∈Fm的互异特征值,x12x2…xn∈F 是分别与λ,对应的r个线性无关的特征向量,贝 11~12 122 2r k1,k22 k 线性无关 推论:属于不同特征值的特征向量必线性无关 证明: 对特征值的个数用归纳法。当k=1时,显然成立。 设k=m-1(m≥2)时成立,需要证明k=m时也成立。 1x+a2x2+…+anx=0→a1=a2 a.=0 萬m水字信息科学与工程学院

信息科学与工程学院 特征值与特征向量（Continue） • 属于不同特征值的线性无关的特征向量组，组合起来仍线 性无关 设 是 的互异特征值， 是分别与 对应的 个线性无关的特征向量，则 线性无关 –推论：属于不同特征值的特征向量必线性无关 证明： 对特征值的个数用归纳法。当k= 1时，显然成立。 设 时成立，需要证明k = m时也成立。 1 ,2 ,  ,n F nxn AF n xi xi xir F i 1 , 2 ,  ,  n x x x r x x x r xk xk xkr F k 11, 12,  , 1 , 21, 22,  2 ,  1 , 2 ,   1 2 k = m −1(m  2) 1 x1 +2 x2 ++n xn = 01 =2 ==n = 0 i r i

特征值与特征向量( Cont inue) 为此,设有F上的常数 12 2 m1>m2 ∈F 使得 ∑ ∴ 0 用n乘以上式两边 小,nx,+…+ym 0 =11(m-1)jm(m-1)J =1my m my 用A左乘(1)式两端,并注意到: Ax1=1x1(i=1,…,m;t=1,…,r) 又有 1)j(m-1)-(m-1) (2)式与(3)式相减 ∑1A1(m-14)x1+…+>1Hm1(m-24m)xmy=0 萄m水字信息科学与工程学院

信息科学与工程学院 特征值与特征向量（Continue） 为此，设有F上的常数： 使得： 用 乘以上式两边： 用A左乘（1）式两端，并注意到： 又有 (2)式与(3)式相减 n r r m m kr F m 11,12,  ,1 ,21,22, 2 ,  1 , 2 ,   1 2  =  =  = + + − − + = m− r m j mj mj r j r j j j m j m j x x x 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 0 1 1     (1) m  =  =  = + + − − + = m− r m j mj m mj r j r j j m j m j m m j x x x 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 0 1 1        (2) ( 1, , ; 1, , ) it i it i Ax =  x i =  m t =  r  =  =  = + + − − − + = m− r m j mj m mj r j r j j j m j m m j x x x 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0 1 1        ( ) ( ) 0 1 1 1 1  1 − 1 1 + + ( 1) − ( 1) ( 1) = = = − − − − r j r j j m j m j m m m j m    x     x (3)

特征值与特征向量( Cont inue) (m-)=0j=1, 41,(m-2)=0 又因为A1,12,…n∈F互异,故: 几1 0 将上式代入(1)式,得 产m Ln的线性无关的特征向量 1:4m2 0 112112…,1n212122 15/m2 n=0 即k=m时,定理也成立 萬m水字信息科学与工程学院

信息科学与工程学院 特征值与特征向量（Continue） 即： 又因为 互异，故： 将上式代入(1)式，得 即k = m时，定理也成立 ( 1) 1 1 1 2 2 1 1 1 ( ) 0 1, ( ) 0 1, , ( ) 0 1, , − − − = = − − = = − = = m j m m m j m j m j r j r j r              1 1 2 1 0 1, , ; 1, , , ; 1, , j = = m−  j  r  r   r 1 ,2 ,  ,n F  = = r m j mj mj x 1  0 m 的线性无关的特征向量 1 , 2 , = 0 m m mrm    1 1, 1 2, , 1 , 2 1, 2 2 , 2 , 1 , 2 , 0 1 2 = r r m m krm          

特征值与特征向量( Cont inue) 方阵的迹 设A=(an)∈F,定义 tA=a1+a2+…+an 为方阵A的迹 定理 A∈Fm有且仅有n个特征值,且若,A2…,2∈F是A的n个特 征值,更 det(nr-A)=/-(tr A)2+.+(l)"det a ∑1=tA I-A=det A A的特征值是1,2…n,而H=(an)∈Fm的特征值为 元,乙 萬m水字信息科学与工程学院

信息科学与工程学院 特征值与特征向量（Continue） • 方阵的迹 –设 ，定义 为方阵A的迹 • 定理 – 有且仅有n个特征值，且若 是A的n个特 征值，则 的特征值是 ，而 的特征值为 n n A aij F  = ( ) = = + + + = n i A a a ann ann 1 11 22 tr  nxn AF 1 ,2 ,  ,n F I A A A n n n det( ) (tr ) ( 1) det 1 − = − + + −    −  A n i i tr 1  = =  A n i i det 1  = =  T A   n , , , 1 2  n n ji H A a F  = ( )   n , , , 1 2 