回顾与复习( Cont i nue) ·线性方程组解的结构 齐次 AX=O A∈F n×n (1,)(2,元2)…(k,六 r×(n-r) ∈Fnr) 5152…Sn-r 非齐次 AX=BA∈FmN、B∈Fm X=X+X 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 回顾与复习（Continue） • 线性方程组解的结构 –齐次 –非齐次 n−r , , , 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) n n r n r r n r k k F I C I i j I i j I i j − − − − AX = 0 m n A Fr X =X1 +X0 AX = B 1 , m n m A Fr B F
回顾与复习( Cont i nue) ·方阵的特征值与特征向量 A∈FhM 彐∈F30≠x∈Fn Ax=ax 特征矩阵 A∈F 12 2-4 L 2 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 回顾与复习（Continue） • 方阵的特征值与特征向量 • 特征矩阵 n n A F F n 0 x F Ax = x n n A F − − − − − − − − − − = n n n n n n a a a a a a a a a I A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1
回顾与复习( Cont i nue) ·特征多项式 det(2r-A) 特征方程 det(1-A=0 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 回顾与复习（Continue） • 特征多项式 • 特征方程 det(I − A) = 0 det(I − A)
特征值与特征向量( Cont inue) ·特征值的代数重数 若λ∈F是A∈F的k重特征值,则称的代数重数为k 特征值的几何重数 (MⅠ-A)x=0的解空间称为A的属于特征值λ的特征子空间,记 为V2。特征子空间的维数 dim v,=n-rank(/ 称为A的特征值λ的几何重数 ·特征值的几何重数不超过它的代数重数: 若∈F是A∈F"的k重特征值,则 dmV2=n-rank(-A)≤k 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 特征值与特征向量（Continue） • 特征值的代数重数 –若 是 的k重特征值，则称λ的代数重数为k • 特征值的几何重数 – 的解空间称为A的属于特征值λ的特征子空间，记 为 。特征子空间的维数 称为A的特征值λ的几何重数 • 特征值的几何重数不超过它的代数重数： –若 是 的k重特征值，则 n n A F F V (I − A)x = 0 dimV = n − rank(I − A) dimV = n − rank(I − A) k n n A F F
特征值与特征向量( Cont inue) 矩阵的多项式 设八(2)是4的多项式 f()=a,°+a、-2”-+…+a1元+ao S∈ a1,∈F,i=1,…s:运算结果是一个数 对A∈F"",定义 f(4)=a,A+an141+…+a14+01 为矩阵A的多项式 a,∈F,i=1,…sA,I∈Fn:运算结果是一个F上的矩阵 矩阵的多项式的特征值和特征向量 若A∈F是A∈F""的特征值,彐0≠x∈F”是A的属于的特征 向量,那么x也是∫(A)的属于特征值f(4)的特征向量 Ax=ax f(A)x=f(a)x f(A)=0 →f(4)=0(对4的任特征值) 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 特征值与特征向量（Continue） • 矩阵的多项式 –设 f(λ) 是 λ 的多项式 ：运算结果是一个数 –对 ，定义 为矩阵A的多项式 ：运算结果是一个 上的矩阵 • 矩阵的多项式的特征值和特征向量 –若 是 的特征值， 是A的属于λ的特征 向量，那么x也是 的属于特征值 的特征向量： n n A F 1 0 1 1 f ( ) a a a a s s s = s + + + + − − n n F f A a A a A a A a I s s s s 1 0 1 1 ( ) = + + + + − − n n A F F a F i s i , , =1, n n ai F i s A I F , =1, , Ax = x f (A)x = f ()x n 0 x F f (A) f () sZ f (A) = 0 f () = 0 (对A的任一特征值λ）