第五章向量与空问解桥几何 (2)若还满足|a=3,|b=4.|cl=5,求|a×b+b×c+c×al 证明(1)因a+b+c=0,所以 0=(a+b+c)·(a+b+c)=a·a+b·b+c·c+2(a.b+b·c+c·a) 即有 a.b+b.c+e.a=-(lap+bp+leP). (2)因c=-(a+b).故 b×c=-b×(a+b)=axb,c×a=-(a+b)×a=axb 由于 aP+lbP=lc,故a1b,(a,b)=受 所以 la×b+b×c+c×al=3la×b=3 allblsin(a.b)=3,3·41=36. 24.设a+3b与7a-5b垂直.a-4b与7a-2b垂直.求a与b之间的夹角8. 解由于(a+3b)1(7a-5b),所以(a+3b)·(7a-5b)=0,即 7aP-15|b2+16a.b=0. (1) 又(a-4b)1(7a-2b),所以(a-4b)·(7a-2b)=0,即 7aP+8bF-30a·b=0 3 联立方程(1)、(2)得 laP=1612=2a.b. 所以 wa)a-号 25.试用向量方法证明三角形的余弦定理. 证明设在△ABC中，LBCA=0.ICB=a,ICA=b,AB=c, 现要证e2=a2+2∠2 abcos0.记CB=a,AB=c,C=b,则有c=a-b,从而 lcP=ec=(a-b)·(a-b)=a.a+bb-2a·b=laP+lbP-2 lalco 由lal=a,bl=b,lcl=c,即得 e2 a2 62 2abcos0. 26.试用向量积证明三角形正弦定理 证明设△ABC的三个内角为a,B、y,三边长为a、b、c, 因为B=A元+C店.所以B×AB=(A元+C店×AB=A元×AB+C店×B 故AC×AB+C不×A丽=0，即A元×A正=-C店×A 两边取模，有元×=成×。即k=p,放品。部 同理可证 sinsiny 因此品。品三角彩正弦定理得证
高等数学习题全解与学习指导（下册】 27.已知向量a≠0.b≠0，证明 la×b2=la2lb2-(a.b)2 证明|a×b2=aPlb2sim2(a,b) =a1b1[1-cow2(a,b)] =la12161-laP216P2c02(a.b) =laFl6E-(a·b)2. 28.已知a、b、c两两垂直，且|a=1,|b川=2，|c=3,求s=a+b+c的长度与它 和a、bc的夹角. 解ls=la+b+c2=(a+b+c)·(a+b+c) =a.a+b.b+cc+2(a.b+b:c+e·a) =a2+1bP+lc2=12+22+32=14. 粉 Is=14. cos(s.a)=IsTal s·a-a.a+b·a+c·alal1 sllal (a）=c 同理 2 3 bm后e)=mm 29.已知a=(7,-4,-4),b=(~2,-1,2),向量c在向量a与b的角平分线上 且cl=3反，求c的坐标公 -7.2). c=A(1,-7,2),A|5网=342.A=±7 c=±(7，-77,2万). 注这里向量e。+e在a与b的角平分线上（见图5-1）. 或设c=A(ba+|ab)=A(3(7,-4,-4)+以-2，-L,2) =3M(1,-7.2). 3aV5网=3瓦，A=±7，c=±（万.-77,27） 图5-1 30.设向量x与j成60°角，与k成120°角，且x=52,求x 解由题意知，mg=m.号行时=m号。一分则 c0sa=±2 r.lxl(cmm.op.mr)